2016年山东省淄博市高考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年山东省淄博市高考数学一模试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1 i 是虚数单位，复数 表示的点落在哪个象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设集合 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 A B，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 3下列选项错误的是（ ） A命题 “若 x 1，则 3x+2 0”的逆否命题是 “若 3x+2=0，则 x=1” B “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要条件 C若命题 “p： x R， x2+x+1 0”，则 “ p： R， =0” D若 “p q”为真命题，则 p、 q 均为真命题 4使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ） A B C D 5已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 2 B C 1 D 3 6在正项等比数列 ，若 3 2等差数列，则 =（ ） A 3 或 1 B 9 或 1 C 3 D 9 7已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 2y 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 8三棱锥 S 其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 长为（ ） A 2 B 4 C D 16 9如果执行如所示的程序框图，那么输出的 S=（ ） 第 2 页（共 27 页） A 119 B 600 C 719 D 4949 10任取 k 1， 1，直线 L： y= 与圆 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 相交于 M、 N 两点，则 | 2 的概率为 （ ） A B C D 11某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A 72 B 120 C 144 D 168 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 25 分） 12函数 f（ x） = ，若 f（ a） a，则实数 a 的取值范围是 _ 13（文科）某校女子篮球队 7 名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x，那么 x 的值为 _ 14二项式 的展开式中 系数为 ，则 =_ 15锐角三角形 ， a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边，设 B=2A，则 的取值范围是 _ 16若 x、 y 满足 ，则 z=y |x|的最大值为 _ 17（文科）已知函数 f（ n）， n N*，且 f（ n） N*若 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，f（ 1） 1，则 f（ 6） =_ 18设函数 f（ x） =|x+1） |，实数 a， b（ a b）满足 f（ a） =f（ ）， f（ 10a+6b+21）=4 a+b 的值为 _ 第 3 页（共 27 页） 二、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19已知向量 =（ =（ 2 +2 函数 f（ x） = ， x R （ ）求函数 f（ x）的最大值； （ ）若 x （ ， ）且 f（ x） =1，求 x+ ）的值 20（文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）： 项目 数学 优秀 合格 不合格 英 语 优秀 70 30 20 合格 60 240 b 不合格 a 20 10 已知英语、数学的优秀率分别为 24%、 30%（注：合格人数中不包含优秀人数） （ 1）求 a、 b 的值； （ 11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取 6 人，若再从这 6 人中任选 2 人，求这两名学生的 英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率 21（理科）四棱镜 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0 （ ）若平面 面 l，求证： l （ ）求平面 平面 成二面角的大小 22（文科）四棱镜 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0， Q 是 中点 （ ）若平面 面 l，求证： l （ ）求证： 第 4 页（共 27 页） 23袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球， 5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中 （ 1）重复上述过程 2 次后，求袋中有 4 个白球的概率 （ 2）重复上述过程 3 次后，记袋中白球的个数为 X，求 X 的数学期望 24设数 列 前 n 项和为 列 等差数列，且 5， 1 （ ）求数列 通项公式 （ ）将数列 中的第 ，第 ，第 ， ，第 ， ，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 求数列 前 2016 项和 25（理科）已知各项均不相等的等差数列 前四项和为 16，且 等比数列，数列 足 （ ）求数列 通项公式 前 n 项和 （ ）是否存在正整数 s， t（ 1 s t），使得 等比数列？若存在，求出 s， 不存在，请说明理由 26（文科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线 + =1（ a b 0， y 0）和曲线 C2：x2+y2=y 0）组成，已知曲线 点（ ， ），离心率为 ，点 A、 B 分别为曲线C 与 x 轴、 y 轴的一个交点 （ ）求曲线 方程； （ ）若点 Q 是曲线 的任意点，求 积的最大值； （ ）若点 F 为曲线 右焦点，直线 l： y=kx+m 与曲线 切于点 M，与 x 轴交于点N，直线 直线 x= 交于点 P，求证： 第 5 页（共 27 页） 27（理科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线 + =1（ a b 0， y 0）和曲线 C2：y=1（ y 0）组成，已知曲线 点（ ， ），离心率为 ，点 A、 B 分别为曲线C 与 x 轴、 y 轴的一个交点 （ ）求曲线 方程； （ ）若点 Q 是曲线 的任意点，求 积的最大值及点 Q 的坐标； （ ）若点 F 为曲线 右焦点，直线 l： y=kx+m 与曲线 切于点 M，且与直线 x=交于点 N，求证：以 直径的圆过点 F 28（文科）设函数 f（ x） =x（ 1） e=自然对数的底数） （ ）若 a= ，求 f（ x）的单调区间； （ ）若当 x 0 时， f（ x） 0，求 a 的取值范围； （ ）若 f（ x）无极值，求 a 的值 29（理科）设函数 f（ x） =x（ 1） e=自然对数的底数） （ ）若 a= ，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x）在（ 1， 0）无极值，求 a 的取值范围； （ ）设 n N*， x 0，求证： 1+ + + 注： n！ =n （ n 1） 2 1 第 6 页（共 27 页） 2016 年山东省淄博市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1 i 是虚数单位，复数 表示的点落在哪个象限（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论 【解答】 解： = = 3 8i，对应的坐标为（ 3， 8），位于第三象限， 故选： C 2设集合 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 A B，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 由集合 A=x|1 x 2， B=x|x a， A B，即可得出 a 的取值范围 【解答】 解： 集合 A=x|1 x 2， B=x|x a， A B， a 2 则 a 的取值范围是 a 2 故选： A 3下列选项错误的是（ ） A命题 “若 x 1，则 3x+2 0”的逆否命题是 “若 3x+2=0，则 x=1” B “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要条件 C若命题 “p： x R， x2+x+1 0”，则 “ p： R， =0” D若 “p q”为真命题，则 p、 q 均为真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据逆否命题的定义进行判断 B根据充分条件和必要条件的定义进行判断 C根据含有量词的命题的否定进行判断 D根据复合命题真假关系进行判 断 【解答】 解： A命题 “若 x 1，则 3x+2 0”的逆否命题是 “若 3x+2=0，则 x=1”，故 A 正确， B由 3x+2 0 得 x 2 或 x 1，即 “x 2”是 “3x+2 0”的充分不必要条件，故 B 正确， C若命题 “p： x R， x2+x+1 0”，则 “ p： R， =0”，故 C 正确， D若 “p q”为真命题， p、 q 至少有一个为真命题，故 D 错误， 故选： D 第 7 页（共 27 页） 4使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性 【分析】 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 22x+ ），由于它是奇函数，故+ =k z，当 k 为奇数时， f（ x） = 2足在 上是减函数，此时，=2， n z，当 k 为偶数时，经检验不满足条件 【解答】 解： 函数 =22x+ ） 是奇函数，故 + =k Z， = 当 k 为奇数时，令 k=2n 1， f（ x） = 2足在 上是减函数，此时， =2， n Z， 选项 B 满足条件 当 k 为偶数时，令 k=2n， f（ x） =2满足在 上是减函数 综上，只有选项 B 满足条件 故选 B 5 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，则 | |=（ ） A 2 B C 1 D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可 【解答】 解： | +2 |=2 ， +4 +4 =| |2+4| | |4| |2=| |2+2| |+4=12， 解得 | |=2， 故选： A 6在正项等比数列 ，若 3 2等差数列，则 =（ ） A 3 或 1 B 9 或 1 C 3 D 9 【考点】 等比数列的通项公式 第 8 页（共 27 页） 【分析】 设正项等比数列 公比为 q 0，由于 3 2等差数列，可得出 q， 即可得出 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q 0， 3 2等差数列， 化为 ，即 2q 3=0，解得 q=3 则 = =， 故选： D 7已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 2y 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点，由题意可得 3= ，解方程可得 m，可得双曲线的方程，再将其中的 “1”换为 “0”，进而得到所求渐近线方程 【解答】 解：抛物线 2y 的焦点为（ 0， 3）， 由双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 2y 的焦点相同， 可得 3= ， 解得 m=4， 即有双曲线的方程为 =1， 可得渐近线方程为 y= x 故选： C 8三棱锥 S 其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 长为（ ） 第 9 页（共 27 页） A 2 B 4 C D 16 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由已知中的三视图可得 平面 面 等腰三角形， ， C=4， 上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得 平面 且底面 等腰三角形， 在 ， 上的高为 2 ， 故 ， 在 ，由 ， 可得 ， 故选 B 9如果执行如所示的程序框图，那么输出的 S=（ ） A 119 B 600 C 719 D 4949 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 T， S， k 的值，当 k=6 时不满足条件 k 5，退出循环，输出 S 的值为 719 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=1， S=0， T=1 满足条件 k 5， T=1， S=1， k=2 满足条件 k 5， T=2， S=5， k=3 满足条件 k 5， T=6， S=23， k=4 满足条件 k 5， T=24， S=119， k=5 满足条件 k 5， T=120， S=719， k=6 不满足条件 k 5，退出循环，输出 S 的值为 719 故选： C 10任取 k 1， 1，直线 L： y= 与圆 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=4 相交于 M、 N 两点，则 | 2 的概率为 （ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题然后结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：由圆的方程得：圆心（ 2， 3），半径 r=2， 第 10 页（共 27 页） 圆心到直线 y= 的距离 d= ， | 2 ， 2 =2 2 ， 变形整理得 4 43，即 解得： k ， k 的取值范围是 ， 则对应 | 2 的概率 P= = 故选 A 11某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A 72 B 120 C 144 D 168 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，分 2 步进行分析： 、先将 3 个歌舞类节目全 排列， 、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：分 2 步进行分析： 1、先将 3 个歌舞类节目全排列，有 种情况，排好后，有 4 个空位， 2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须安排 2 个节目， 分 2 种情况讨论： 将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 种情况， 排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是 6 4 2=48 种； 将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 种情况， 排好后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选，即有 6 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是 6 2 6=72 种； 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120， 故选： B 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 25 分） 12函数 f（ x） = ，若 f（ a） a，则实数 a 的取值范围是 a 1 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式进行解不等式即可得到结论 第 11 页（共 27 页） 【解答】 解：若 a 0，则由 f（ a） a 得 a 1 a，即 a 1，则，即 a 2此时 a 0， 若 a 0 时，则由 f（ a） a 得 a，即 1 1 a 1，此时 1 a 0， 综上 a 1， 故答案为： a 1 13（文科）某校女子篮球队 7 名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175记录中有一名运动员身高的 末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x，那么 x 的值为 2 【考点】 茎叶图 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数公式即可求出 x 的值 【解答】 解：根据茎叶图中的数据知， 170+ （ 1+2+x+4+5+10+11） =175， 即 （ 33+x） =5， 即 33+x=35， 解得 x=2 故答案为： 2 14二项式 的展开式中 系数为 ，则 = 【考点】 定积分；二项式系数的性质 【分析】 先用二项式定理求得 a 的值，再求定积分的值 【解答】 解：由二项式定理可得： 的系数为 ，则 a=1， = = 故答案为： 15锐角三角形 ， a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边，设 B=2A，则 的取值范围是 （ ， ） 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 根据正弦定理可得到 ，结合 B=2A 根据二倍角公式可得，整理得到 =2求得 A 的范围即可得到 的取值范围 第 12 页（共 27 页） 【解答】 解：由正弦定理：得 ， B=2A， ， =2 当 B 为最大角时 B 90， A 45， 当 C 为最大角时 C 90， A 30， 30 A 45， 2 22 （ ， ） 故答案为：（ ， ） 16若 x、 y 满足 ，则 z=y |x|的最大值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可 【解答】 解： 表示的可行域如图： z=y |x|，即： y=+z= ，由 可得， A（ 1， 3），目标函数经过 A（ 1， 3）时取得最大值： 故答案为： 第 13 页（共 27 页） 17 （文科）已知函数 f（ n）， n N*，且 f（ n） N*若 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，f（ 1） 1，则 f（ 6） = 5 【考点】 函数的值 【分析】 由 f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1，可得： f（ 1） +f（ 2） +f（ f（ 1） =4，由于f（ 1） 1，且 f（ n） N*则必有 f（ 1） =2，化为 2+f（ 2） +f（ 2） =4，解得 f（ 2） =1分别令 n=2， 3， 4， 5，即可得出 【解答】 解： f（ n） +f（ n+1） +f（ f（ n） =3n+1， f（ 1） +f（ 2） +f（ f（ 1） ） =4， f（ 1） 1，且 f（ n） N* 则必有 f（ 1） =2，化为 2+f（ 2） +f（ 2） =4，解得 f（ 2） =1，满足题意 令 n=2，则 f（ 2） +f（ 3） +f（ f（ 2） =7，可得： 1+f（ 3） +f（ 1） =7，可得 f（ 3） =4 令 n=3，则 f（ 3） +f（ 4） +f（ f（ 3） =10，可得： 4+f（ 4） +f（ 4） =10，可得 f（ 4） =3 令 n=4，则 f（ 4） +f（ 5） +f（ f（ 4） =13，可得： 3+f（ 5） +f（ 3） =13，即 3+f（ 5） +4=13，可得 f（ 5） =6 令 n=5，则 f（ 5） +f（ 6） +f（ f（ 5） =13，可得： 6+f（ 6） +f（ 6） =16，可得 f（ 6） =5 故答案为： 5 18设函数 f（ x） =|x+1） |，实数 a， b（ a b）满足 f（ a） =f（ ）， f（ 10a+6b+21）=4 a+b 的值为 【考点】 抽象函数及其应用；函数的值 【分析】 根据题目给出的等式 f（ a） =f（ ），代入函数解析式得 到 a、 b 的关系，从而判断出 f（ 10a+6b+21）的符号，再把 f（ 10a+6b+21） =4化为含有一个字母的式子即可求解 【解答】 解：因为 f（ a） =f（ ），所以 |a+1） |=| +1） |=|） |=|b+2） |， 所以 a+1=b+2，或（ a+1）（ b+2） =1，又因为 a b，所以 a+1 b+2，所以（ a+1）（ b+2） =1 又由 f（ a） =|a+1） |有意义知 a+1 0，从而 0 a+1 b+1 b+2， 于是 0 a+1 1 b+2 所以（ 10a+6b+21） +1=10（ a+1） +6（ b+2） =6（ b+2） + 1 从而 f（ 10a+6b+21） =|（ b+2） + |=（ b+2） + 又 f（ 10a+6b+21） =4 所以 （ b+2） + =4 故 6（ b+2） + =16解得 b= 或 b= 1（舍去） 把 b= 代入（ a+1）（ b+2） =1 解得 a= 第 14 页（共 27 页） 所以 a= ， b= a+b= 故答案为： 二、解答题（本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19已知向量 =（ =（ 2 +2 函数 f（ x） = ， x R （ ）求函数 f（ x）的最大值； （ ）若 x （ ， ）且 f（ x） =1，求 x+ ）的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由向量的数量积 和三角函数公式可得 f（ x） =4x+ ），可得最大值； （ ）由题意可得 x+ ） = ，由 x 范围和同角三角函数基本关系可得 x+ ）= ，整体代入 x+ ） = x+ ） + = x+ ） x+ ），计算可得 【解答】 解：（ ） =（ =（ 2 +2 f（ x） = =2 +2 =2 （ =4x+ ）， 函数 f（ x）的最大值为 4； （ ） f（ x） =4x+ ） =1， x+ ） = ， x （ ， ）， x+ （ ， ）， x+ ） = ， x+ ） = x+ ） + = x+ ） x+ ） = = 20 （文科）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如下（人数）： 项目 数学 优秀 合格 不合格 英 语 优秀 70 30 20 合格 60 240 b 不合格 a 20 10 已知英语、数学的优秀率分别为 24%、 30%（注：合格人数中不包含优秀人数） 第 15 页（共 27 页） （ 1）求 a、 b 的值； （ 11）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取 6 人，若再从这 6 人中任选 2 人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件 发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ ）设该校高二学生共有 x 人，依题意，得： ，由此能求出 a、 b 的值 （ ）由题意，得抽取的数学不及格的 6 人中，英语优秀的应取 2 人，利用列举法能求出这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率 【解答】 解：（ ）设该校高二学生共有 x 人，已知英语优秀的有 70+30+20=120 人， 依题意，得： ，解得 x=500 ，解得 a=20， 由学生总数为 500 人，得 b=30 （ ）由题意，得抽取的数学不及格的 6 人中，英语优秀的应取 2 人， 分别记为 语合格的 3 人，分别记为 语不合格的应取 1 人，记为 c， 从中任取 2 人的所有结果有： =15 种， 这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有： 共 6 个， 这两名学生的英语成绩恰为一人优秀 一人合格的概率 p= = 21（理科）四棱镜 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0 （ ）若平面 面 l，求证： l （ ）求平面 平面 成二面角的大小 【考点】 二面角的平面角及求法； 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）由 平面 导出 l （ ）连结 D 为原点，分别以 在的直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 成二面角的大小 【解答】 证明：（ ） 面 面 平面 第 16 页（共 27 页） 又平面 与平面 于 l， l 解：（ ）连结 ， AD=a， a， 0， 由余弦定理，得： 2B3 ， 直角三角形，且 平面 以 D 为原点，分别以 在的直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 平面 =（ 0， ， 0）是平面 法向量， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（ 2a， ， 0）， =（ 0， ， ）， =（ 2a， 0， 0）， 则 ，取 z=1，得 =（ 0， 1， 1） = = = ， 平面 平面 成二面角的大小为 45 22（文科）四棱镜 P ， 平面 2B=a， PD=a， 0， Q 是 中点 （ ）若平面 面 l，求证： l （ ）求证： 第 17 页（共 27 页） 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质 【分析】 （ ）由 平面 此能证明 l （ ）连结 余弦定理，得 ，从而 而 平面 面 平面 由 平面 此能证明 【解答】 证明：（ ） 面 面 平面 又平面 与平面 于 l， l （ ）连结 ， AD=a， a， 0， 由余弦定理，得： 2 解得 ， 直角三角形， D=D， 平面 面 平面 平面 又 D= ， Q 为 点， 平面 面 B， 平面 平面 23袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球 ， 5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中 第 18 页（共 27 页） （ 1）重复上述过程 2 次后，求袋中有 4 个白球的概率 （ 2）重复上述过程 3 次后，记袋中白球的个数为 X，求 X 的数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由题意得当袋中有 4 个白球时，二次摸球恰好摸到一白球一黑球，由此能求出袋中有 4 个白球的概率 （ ）由题意 X 的所有可能取值为 3， 4， 5， 6，分别求 出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）由题意得当袋中有 4 个白球时， 二次摸球恰好摸到一白球一黑球， 袋中有 4 个白球的概率 P= = （ ）由题意 X 的所有可能取值为 3， 4， 5， 6， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = + + = ， P（ X=5） = + + = ， X 的分布列为： X 3 4 5 6 P E（ X） = = 24设数列 前 n 项和为 列 等差数列，且 5， 1 （ ）求数列 通项公式 （ ）将数列 中的第 ，第 ，第 ， ，第 ， ，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 求数列 前 2016 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）由 n=1 时， 得 ；当 n 2 时，可得： 1= 为 ，利用等比数列的通项公式即可得出 第 19 页（共 27 页） （ 等差数列 公差为 d，由 5， 1可得 ，解得 b1=d=3，即可得出 . = 将数列 中的第 3 项，第 6 项，第 9 项， ，第 3n 项， ，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为 = ， = ，公比都为 8利用等比数列前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I） n=1 时， 得 ； 当 n 2 时， 1=3 1， 1=3 3 1） = 为 ， 数列 等比数列，首项为 ，公比为 ，可得： = （ 等差数列 公差为 d， 5， 1 ，解得 b1=d=3， +3（ n 1） =3n = 将数列 中的第 3 项，第 6 项，第 9 项， ，第 3n 项， ，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为 = ， = ，公比都 为 8 数列 前 2016 项和 =（ c1+（ c2+ = + = 25（理科）已知各项均不相等的等差数列 前四项和为 16，且 等比数列，数列 足 （ ）求数列 通项公式 前 n 项和 （ ）是否存在正整数 s， t（ 1 s t），使得 等比数列？若存在，求出 s， 不存在，请说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d，由 6，且 等比数列，可得， d 0，解出即可得出 利用 “裂项求和 ”可得 第 20 页（共 27 页） （ ， ， 若 等比数列，则 = ，化简整理即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， 6，且 等比数列， ， d 0， 解得 d=2， ， n 1 = = 前 n 项和 + = = （ ， ， 若 等比数列， 则 = ，可得： = ， t= ， 由 2s+1 0，解得 s 1+ ， s N*， s 1，可得 s=2，解得 t=12 当 s=2， t=12 时， 等比数列 26（文科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线 + =1（ a b 0， y 0）和曲线 C2：x2+y2=y 0）组 成，已知曲线 点（ ， ），离心率为 ，点 A、 B 分别为曲线C 与 x 轴、 y 轴的一个交点 （ ）求曲线 方程； （ ）若点 Q 是曲线 的任意点，求 积的最大值； （ ）若点 F 为曲线 右焦点，直线 l： y=kx+m 与曲线 切于点 M，与 x 轴交于点N，直线 直线 x= 交于 点 P，求证： 第 21 页（共 27 页） 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ I）曲线 点（ ， ），离心率为 ，可得 =1， ，又 a2=b2+立解得 a， b，可得曲线 方程 可得 A，点 A 在曲线 ，可得 r （ A（ 2， 0）， B（ 0， 1），利用截距式可得直线 方程由题意可知：当曲线 处的切线与直线 行时， 面积最大，设切线方程为： x 2y+t=0，由直线与圆相切的性质可得 t利用平行线之间的距离公式可得 上的高 h，即可得出 S 最大值 = |AB|h （ 题意可得： k 0， F ， N 设 M（ 直线方程与椭圆方程联立化为：（ 1+44=0，又直线 l 与曲线 切于点 M，可得 =0，即 利用根与系数的关系可得 M， P 的坐标可得 = ，即可证明 【解答】 （ I）解： 曲线 点（ ， ），离心率为 ， =1， ，又 a2=b2+立解得 a=2， b=1， 可得曲线 方程为： +，（ y 0） 可得 A（ 2， 0）， 点 A 在曲线 ， r=2，可得方程： x2+（ y 0） （ ： A（ 2， 0）， B（ 0， 1），可得直线 方程： =1，化为： x 2y+2=0 由题意可知：当曲线 点 Q 处的切线与直线 行时， 面积最大， 设切线方程为： x 2y+t=0，由直线圆相切的性质可得： =2，由可知 t 0，解得 t=2 此时 上的高 h= =2+ S 最大值 = |AB|h= = +1， 积的最大值为+1 （ 明：由题意可得： k 0， F ， N 设切点 M（ 由 ，化为：（ 1+44=0， 第 22 页（共 27 页） 又直线 l 与曲线 切于点 M， =（ 82 4（ 1+4 44） =0，即 = ， y0=m= ， M ，即 M ， = = ， = =， = ， 27（理科）如图所示的封闭曲线 C 由曲线 + =1（ a b 0， y 0）和曲线 C2：y=1（ y 0）组成，已知曲线 点（ ， ），离心率为 ，点 A、 B 分别为曲线C 与 x 轴、 y 轴的一个交点 （ ）求曲线 方程； （ ）若点 Q 是曲线 的任意点，求 积的最大值及点 Q 的坐标； （ ）若点 F 为曲线 右焦点， 直线 l： y=kx+m 与曲线 切于点 M，且与直线 x=交于点 N，求证：以 直径的圆过点 F 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ I）曲线 点（ ， ），离心率为 ，可得 =1， ，又 a2=b2+立解得可得曲线 方程可得 A，代入曲线 程，即可得出方程 （ A（ 2， 0）， B（ 0， 1），利用截距式可得直线 方程由题意可知：当曲线 处的切线与直线 行时， 面积最大，设切线方程为： x 2y+t=0，可知：切线斜率为 ，利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得出切点 Q代入切线方程可得t，利用平行线之间的距离公式可得： 上的高 h，即可得出面积的最大值 （ 题意可得： k 0， F ， N 设切点 M（ 直线方程与椭圆方程联立化为：（ 1+44=0，又直线 l 与曲线 切于点 M，可得 第 23 页（共 27 页） =0，即 利用根与系数的关系解出 M可得 N， ， ，利用 =0，即可证明以 直径的圆过点 F 【解答】 （ I）解： 曲线 点（ ， ），离心率为 ， =1， ，又a2=b2+ 联立解得 a=2， b=1，可得曲线 方程为： +（ y 0） 可得