2018年上海市闵行区高考数学一模试卷

2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）集合P=x|0x3，xZ，M=x|x29，则PM= 2（4分）计算= 3（4分）方程的根是 4（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则= 5（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是 6（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）7（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为 （用数字作答）8（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）9（5分）已知数列an、bn满足bn=lnan，nN*，其中bn是等差数列，且，则b1+b2+b1009= 10（5分）如图，向量与的夹角为120，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则的最大值是 11（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30的直线交双曲线的右支于P，若PF2F1F2，则该双曲线的渐近线方程是 12（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，ABC=BCD=120，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1l2，l2l3，则下列结论一定正确的是（）Al1l3Bl1l3Cl1、l3既不平行也不垂直Dl1、l3相交且垂直14（5分）若ab0，cd0，则一定有（）AadbcBadbcCacbdDacbd15（5分）无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（nN*），则“a1+d0”是“Sn为递增数列”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要16（5分）已知函数（nm）的值域是1，1，有下列结论：当n=0时，m（0，2；当时，；当时，m1，2；当时，m（n，2；其中结论正确的所有的序号是（）ABCD三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）已知函数（其中0）（1）若函数f（x）的最小正周期为3，求的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若=2，0，且，求的值18（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，AOC=60（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小19（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线：y2=2px的焦点，直线l与相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）求的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|21（18分）对于函数y=f（x）（xD），如果存在实数a、b（a0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对xD恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”（1）判断函数f（x）=x22是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在0，+）上的“（2，1）映像函数”，且当x0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x3，7）的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列an，使得当xan，an+1）（nN*）时，2x+1an+1，an+2），并求xan，an+1）（nN*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x0，+）的值域2018年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）集合P=x|0x3，xZ，M=x|x29，则PM=0，1，2【解答】解：集合P=x|0x3，xZ=0，1，2，M=x|x29=x|3x3，PM=0，1，2故答案为：0，1，22（4分）计算=【解答】解：=，故答案为：3（4分）方程的根是10【解答】解：，即1+lgx3+lgx=0，lgx=1，x=10故答案为：104（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=【解答】解：是纯虚数，得sin且cos，为第二象限角，则cos=sincos+cossin=故答案为：5（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是【解答】解：设直线l的倾斜角为，0，）设直线的方向向量为=（x，y），则=xy=0，tan=，解得=故答案为：6（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96（用数字作答）【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120420=96种；故答案为：967（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为40（用数字作答）【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r，今r=2，T3=22C52x2=40x2x2的系数是408（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos（结果用反三角函数表示）【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=BB1，BCB1C1，A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，A1B=5，A1C=，cosA1BC=A1BC=arccos异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos故答案为：arccos9（5分）已知数列an、bn满足bn=lnan，nN*，其中bn是等差数列，且，则b1+b2+b1009=2018【解答】解：数列an、bn满足bn=lnan，nN*，其中bn是等差数列，bn+1bn=lnan+1lnan=ln=常数t=常数et=q0，因此数列an为等比数列且，a1a1009=a2a1008=则b1+b2+b1009=ln（a1a2a1009）=lne2018=2018故答案为：201810（5分）如图，向量与的夹角为120，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则的最大值是【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cos，sin），sin=，=+=+，故答案为：11（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30的直线交双曲线的右支于P，若PF2F1F2，则该双曲线的渐近线方程是y=x【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，在直角PF1F2中，PF1F2=30，可得m=2n，则mn=2a=n，即a=n，2c=n，即c=n，b=n，可得双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故答案为：y=x12（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，ABC=BCD=120，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是（，2）【解答】解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB=BC=CD=4，ABC=BCD=120，B（2.0），C（2，0），A（4，2），D（4，2），E、F分别是AB、CD的中点，E（3，），F（3，），设P（x，y），4x4，0y2，（3x，y）（3x，y）=x2+（y）+9=k，即x2+（y）9=k+9，当k+90时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r=，此时点P有4个，满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，k+97，解得k2，故实数k的取值范围为（，2），故答案为：（，2）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1l2，l2l3，则下列结论一定正确的是（）Al1l3Bl1l3Cl1、l3既不平行也不垂直Dl1、l3相交且垂直【解答】解：空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1l2，l2l3，l1l3，故选：A14（5分）若ab0，cd0，则一定有（）AadbcBadbcCacbdDacbd【解答】解：cd0，cd0又ab0，则一定有acbd，可得acbd故选：D15（5分）无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（nN*），则“a1+d0”是“Sn为递增数列”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要【解答】解：等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+d，则Sn+1=（n+1）a1+，则Sn+1Sn=（n+1）a1+na1d=a1+nd，若Sn为递增数列，a1+nd0，S2S1=a1+d0，a1+nd0不能推出a1+d0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d0”是“Sn为递增数列必要非充分，故选：B16（5分）已知函数（nm）的值域是1，1，有下列结论：当n=0时，m（0，2；当时，；当时，m1，2；当时，m（n，2；其中结论正确的所有的序号是（）ABCD【解答】解：当x1时，x10，f（x）=22x+13=23x3，单调递减，当1x1时，f（x）=22+x13=21+x3，单调递增，f（x）=22|x1|3在（1，1）单调递增，在（1，+）单调递减，当x=1时，取最大值为1，绘出f（x）的图象，如图：当n=0时，f（x）=，由函数图象可知：要使f（x）的值域是1，1，则m（1，2；故错误；当时，f（x）=，f（x）在1，单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为1，；故正确；当时，m1，2；故正确，错误，故选C三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）已知函数（其中0）（1）若函数f（x）的最小正周期为3，求的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若=2，0，且，求的值【解答】解：（1）函数=sin（x），函数f（x）的最小正周期为3，即T=3=那么：，由，kZ，得：函数f（x）的单调递增区间为，kZ；（2）函数=sin（x），=2f（x）=sin（2x），可得sin（2）=0，（2）2=或解得：=或=18（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，AOC=60（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小【解答】解：（1）AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，AOC=60r=2，l=4，圆锥的侧面积S=rl=24=8（2）过点P作PE圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，PE=PO=，CE=，PCE是直线PC与底面所成角，PE=CE，PECE，直线PC与底面所成的角为19（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解：（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=第5天的捐步人数为f（5）=10000（1+15%）4=17490由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，前5天的捐步总收益为0.05=3371；（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，若1x30，则0.05，解得xlog1.159132.3（舍）若x30，则+100001.1529（x30）0.05，解得x32.87活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余20（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线：y2=2px的焦点，直线l与相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）求的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1椭圆的右焦点，即抛物线：y2=2px的焦点为（1，0），则，p=2，的方程为y2=4x；（2）解：设直线l：x=my+2，联立，得y24my8=0则y1+y2=4m，y1y2=8=，即OAB的面积的最小值为；（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x5），即y=kx5k2联立，可得ky24y20k8=0，=C（1，2），则=（x11）（x21）+（y12）（y22）=x1x2（x1+x2）+1+y1y22（y1+y2）+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A（5，），B（5，2），有，CACB，又D为线段AB的中点，|AB|=2|CD|21（18分）对于函数y=f（x）（xD），如果存在实数a、b（a0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对xD恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”（1）判断函数f（x）=x22是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x