多元函数的基本概念最新版本ppt课件

.,高等数学,.,第九章多元函数微分学9.1多元函数的基本概念9.2偏导数9.3全微分9.4多元复合函数的求导法则9.5隐函数的求导公式9.6多元函数微分学的几何应用9.7方向导数与梯度9.8多元函数的极值9.9综合例题,.,第九章,第一节,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,.,9.1多元函数的基本概念,一、平面区域,1邻域,设是的一个点,是某一正数.与点距离小于的点的全体称为点的邻域,简称邻域,记为,即,.,的几何意义为xOy平面上以点,为中心,半径为的圆的内部所有点,的全体.,中除去点,后剩余的,部分称为点的去心邻域.,记为,.,如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边界点,E的边界点的全体，称为E的边界，记作E.,2.区域,设E是平面上的一个点集，P是平面上的任意一点.,如果存在点P的某一邻域U(P)，使得则称P为E的内点。,.,说明：,内点一定是聚点；,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,.,设D是开集如果对于D内任何两点，都可用属于D的折线连结起来，则称开集D是连通的,连通性：,区域：,连通的开集称为区域或开区域,闭区域：,开区域连同它的边界称为闭区域,E1和E2都是连通的,D=E1E2是不连通的,E1和E2都是区域,D=E1E2是不区域,E3是闭区域,.,如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简称区域).,例如，,例如，,若区域E包含在某个圆内，则称E为有界区域；否则，称为无界区域.,.,有界点集和无界点集：,对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的距离|AP|不超过K，即|AP|K对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集,例如E=(x，y)|1x2y24是有界的，(x，y)|x2y21是无界的,.,有界闭区域；,为无界开区域,例如，,.,数xi称为点(x1，x2，xn)的第i个坐标,n维空间：,设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，xn)的全体为n维空间，记为Rn,n维空间中点：,每个有序n元数组(x1，x2，xn)称为n维空间中的一个点,点的坐标：,n维空间中两点P(x1，x2，xn)及Q(y1，y2，yn)间的距离规定为,两点间的距离：,.,.,.,例1设圆柱体的底面半径为,高为,则圆柱体体,积,.这是一个以,为自变量,为因变量,的二元函数.根据问题的实际意义,函数的定义域为,值域为,.,例2求二元函数,的定义域.,解,由,可得定义域为,.,.,例3已知函数,求,.,解,所以,.,注:该方法主要是把右边的式子都凑成里面的两个量.,.,.,.,.,.,.,例3.求,.,解,根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：(1)二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A.(2)如果当以两种不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.,.,例4证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,.,确定极限不存在的方法：,.,.,.,四.二元函数的连续性,定义3设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果则称在点处连续,并称点为连续点.如果函数在点处不连续，则称函数在处间断,称点为间断点.,.,例6,讨论点是否为函数的连续点.,解,由于,且,故,在,处连续.,.,与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.例如，都是二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.,.,例7.求,解因初等函数在(0,1)处连续,故有,.,例8求,解,.,二元函数的性质:,性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.性质2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.性质3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，