3.4基本不等式.ppt

,3.4基本不等式,国际数学家大会国际数学家大会（简称ICM）是国际数学界四年一度的大集会.首次会议于1897年在瑞士苏黎世举行.每次国际数学家大会的开幕式上，由国际数学联合会领导人宣布该届菲尔兹奖获奖者名单，颁发金质奖章和奖金，并由他人分别在大会上报告获奖者的工作。,欣赏体会丰富自我,数学家的最高荣誉菲尔兹奖,奖章正面是阿基米德头像,并用拉丁文写有：“超越人类极限，做宇宙主人”的格言,奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪”,欣赏体会丰富自我,从1983年召开的国际数学家大会开始，同时颁发奖励信息科学方面的奈望林纳奖。1998年在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置高斯奖这一奖项。,欣赏体会丰富自我,高斯奖奖章,欣赏体会丰富自我,陈省身奖将于2010年在印度举行的27届国际数学家大会上首次颁发。“陈省身奖”是国际数学联盟第一个以华人命名的数学大奖。,欣赏体会丰富自我,欣赏体会丰富自我,2002年国际数学家大会会标,这是在北京召开的第届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计。,颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,数学是思维的体操,a,b,Rt的面积和是S=,如图,正方形ABCD的面积为S=_，,赵爽弦图,易知，ss,即,等号何时成立？,一般地，对于任意实数a、b，有,当且仅当a=b时，等号成立。,数学是思维的体操,思考:你能给出它的证明吗？,证明:因为,所以即,新课讲解,一般地,对于任意实数,我们有当且仅当时，等号成立。,当时，当时，,重要不等式：,如果用去替换中的,能得到什么结论?必须要满足什么条件?,当且仅当a=b时，等号成立。,基本不等式：,注意：不等式的适用范围,等号成立的条件.,数学是思维的体操,A,B,C,D,E,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=,半径为,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,数学是思维的体操,对基本不等式的理解,(3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项;,(1)几何解释:半径不小于半弦;,(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,(4)成立的条件,提高,剖析公式应用,a、b是两个正数.,当且仅当a=b时“”成立,1.正用、逆用，注意成立的条件,2.变形用,深入探究揭示本质,注意：两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.,重要不等式：,基本不等式：,当且仅当a=b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则,ab,2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则,ab，,等号当且仅当ab时成立.,反思探究,勤于总结敢于创新,等号当且仅当ab时成立.,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,例题结论,（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？,（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？,ab=36,当a=b=6时，和a+b最小为12,a+b=18,当a=b=9时，积ab最大为81,【应用练习】,三、应用,例1、若,求的最小值.,变1:若求的最小值,发现运算结构，应用不等式,变2:若,求的最小值.,变3:若,求的最小值.,问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？,构造条件,结论1：两个正数积为定值，则和有最小值,例,三、应用,例3、已知,求函数的最大值.,变式:已知,求函数的最大值.,发现运算结构，应用不等式,结论2：两个正数和为定值，则积有最大值,错解:,即的最小值为,过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。,错因：,解:,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,正确解答是:,例5、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？,学以致用,练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？,（1）解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,xy=100,篱笆的长为2（x+y）m,由,可得,2（x+y）40,当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10,这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m,设三角形的两条直角边为x、y,解：,则s=,xy=100,当且仅当x=y=10时取等号,当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20,x,x,y,y,（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？,练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=36,即X+y=18,=81,当且仅当x=y=9时取等号,当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81,解：,设矩形的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=20,即x+y=10,=25,当且仅当x=y=5时取等号,当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25,x,x,y,y,（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？,解：,设菜园的长和宽分别为xm，ym,则x+2y=30,x,y,菜园的面积为s=xy=,x2y,=,当且仅当,x=2y时取等号,此时x=15，y=,解：,x+4y=40,x（4y）,=400,xy100,当且仅当x=4y时等号成立,此时，x=20,y=5,当x=20,y=5时，xy的最大值为100,例6、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？,学以致用,3,x,y,分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,解：设水池底面一边的长度为xm，则水池的宽为,水池的总造价为y元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。,练习：,做一个体积为32,，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么,值时用纸最少？,解：,根据题意，有,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,由基本不等式与不等式的性质，可得,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),=8,当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4