2015-2016学年天津一中高二下学期期末数学试卷(理科)

2015-2016学年天津一中高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题1.设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ） A.1+IB.1IC.2+2iD.22i2.由曲线y= ，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（ ） A.B.4C.D.63.若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A.60种B.63种C.65种D.66种4.若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a5（1+x）5 ， 其中a0 ， a1 ， a2 ， ，a5为实数，则a3=（ ） A.15B.5C.10D.205.设函数f（x）=xex ， 则（ ） A.x=1为f（x）的极大值点B.x=1为f（x）的极小值点C.x=1为f（x）的极大值点D.x=1为f（x）的极小值点6.已知随机变量X服从二项分布XB（6， ），则P（X=2）等于（ ） A.B.C.D.7.设一随机试验的结果只有A和 ，P（A）=P，令随机变量X= ，则X的方差为（ ） A.PB.2p（1p）C.1pD.p（1p）8.已知函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ） A.2或2B.9或3C.1或1D.3或19.把12个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（ ） A.21B.28C.40D.7210.设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ） A.1ln2B.C.1+ln2D.二、填空题11.函数f（x）=mx3+nx在x= 处有极值，则mn=_ 12.函数y=xlnx的单调递减区间是_ 13.定积分 （2x+ex）dx_ 14.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有_种 15.二项式（4x2x）6（xR）展开式中的常数项是_ 16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_（用数字作答） 三、解答题17.某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A片区房源的概率； （2）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 18.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立 （1）求红队至少两名队员获胜的概率； （2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E 19.设f（x）=aex+ +b（a0） （1）求f（x）在0，+）上的最小值； （2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2）的切线方程为3x2y=0，求a、b的值 20.已知函数f（x）满足f（x）=f（1）ex1f（0）x+ x2； （1）求f（x）的解析式及单调区间； （2）若 ，求（a+1）b的最大值 答案解析部分一、选择题 1.【答案】B 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：设Z=x+yi则 （1+i）Z=（1+i）（x+yi）=xy+（x+y）i=2即 解得x=1，y=1故Z=1i故选B【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值2.【答案】C 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】【解答】解：联立方程 得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y= ，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：S= 故选C【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y= ，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解3.【答案】D 【考点】计数原理的应用 【解析】【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有 =1种结果，当取得4个奇数时，有 =5种结果，当取得2奇2偶时有 =610=60共有1+5+60=66种结果，故选D【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法4.【答案】C 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】解：由题意可得 f（x）=1+（x+1）5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a5（1+x）5 ， a3=（1）2 =10，故选：C【分析】由题意可得1+（x+1）5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a5（1+x）5 ， 故有a3=（1）2 ，计算可得结果5.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：由于f（x）=xex ， 可得f（x）=（x+1）ex ， 令f（x）=（x+1）ex=0可得x=1令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x=1为f（x）的极小值点故选D【分析】由题意，可先求出f（x）=（x+1）ex ， 利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=1为f（x）的极小值点6.【答案】D 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解：随机变量X服从二项分布XB（6， ）， P（X=2）= （ ）2（1 ）4= ，故选：D【分析】根据二项分布的概率公式求解即可7.【答案】D 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：由题意知一随机试验的结果只有A和 ， 且P（A）=P，随机变量X= ，X服从两点分布，DX=p（1p）故选D【分析】根据随机试验的结果只有A和 ，P（A）=P，使得随机变量X= ，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果8.【答案】A 【考点】利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】解：求导函数可得y=3（x+1）（x1）， 令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在x=1处取得极大值，在x=1处取得极小值函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于013+c=0或1+3+c=0，c=2或2故选：A【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值9.【答案】B 【考点】排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意，先在12个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里， 此时只需将剩下的9个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将9个球排成一列，排好后，有8个空位，在8个空位中任取2个，插入挡板，有C82=28种方法，即有28种将9个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有28种，故选：B【分析】根据题意，首先在12个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，将原问题转化为“将剩下的9个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板法分析：将9个球排成一列，排好后，有8个空位，在8个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式计算可得答案10.【答案】B 【考点】反函数，点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称， 函数 上的点 到直线y=x的距离为 ，设g（x）= （x0），则 ，由 0可得xln2，由 0可得0xln2，函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在ln2，+）单调递增，当x=ln2时，函数g（x）min=1ln2，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为 故选B【分析】由于函数 与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数 上的点 到直线y=x的距离为 的最小值，设g（x）= ，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求二、填空题 11.【答案】3 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：f（x）=mx3+nx，f（x）=3mx2+n f（x）=mx3+nx在x= 处有极值，f（ ）=0 +n=0mn=3故答案为：3【分析】求出导函数，令导函数在x= 时的值为0，即可求出mn的值12.【答案】（ 0，e1） 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：函数的定义域为x0 y=lnx+1令lnx+10得0xe1函数y=xlnx的单调递减区间是（ 0，e1）故答案为（ 0，e1）【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间13.【答案】e 【考点】定积分 【解析】【解答】解： （2x+ex）dx=（x2+ex） =1+e1=e 故答案为：e【分析】直接利用定积分运算法则求解即可14.【答案】12 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：设2名教师为A，B， 第一步，先分组，与A同组的2名学生公有 种，另两名学生与B同组有 种方法，第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有 种方法，由分步计数原理可得，共有 12种，故答案为：12【分析】不妨设2名教师为A，B，利用分步计数原理即可求得不同的安排方案种数15.【答案】15 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解：设二项式（4x2x）6（xR）展开式的通项公式为Tr+1 ， 则Tr+1= （4x）6r（1）r（2x）r=（1）r 212x3rx ， x不恒为0，令12x3rx=0，则r=4展开式中的常数项是（1）4 = =15故答案为：15【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1= （4x）6r（1）r（2x）r ， 令2的指数次幂为0即可求得答案16.【答案】【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中， 若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 =72，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 （ ） =216，若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为 =144，而所有的排法共有 =720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 = ，故答案为 【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 ，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 （ ） =216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为 =144，而所有的排法共有 =720种，由此求得所求事件的概率三、解答题 17.【答案】（1）解：由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222根据等可能事件的概率公式得到P= = （2）解：由题意知的可能取值是1，2，3 P（=1）= ，P（=2）= ，P（=3）= 的分布列是：123PE= 【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222 ， 得到概率（2）由题意知变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值18.【答案】（1）解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5红队至少两名队员获胜包括四种情况：DE ，D F， ，DEF，这四种情况是互斥的，P=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55（2）解：由题意知的可能取值是0，1，2，3 P（=0）=0.40.50.5=0.1，P（=1）=0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.35P（=3）=0.60.50.5=0.15P（=2）=10.10.350.15=0.4的分布列是0123P0.10.350.40.15E=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果（2）由题意知的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望19.【答案】（1）解：设t=ex（t1）， 则y=at+ +by=a = ，a1时，y0y=at+ +b在t1上递增，得：t=1即x=0时，f（x）的最小值是a+ +b；0a1时，y=at+ +b2+b，当且仅当at=1（t=ex= ，x=lna）时，f（x）的最小值是b+2（2）解：f（x）=aex+ +bf（x）=aex ， 由题意得： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切