高中数学必修二直线与圆的位置关系

课题：直线与圆的位置关系一、教学内容分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的个数，圆心与直线的距离d与半径r的关系来判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法都是以结论性的形式呈现,虽然是定量的展现，但实质还是定性研究（d与r都是直接给数据或者利用几何证明来得出d与r的数量关系）.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何法(d-r法)和代数法（法）.其中几何法是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.而代数法是结合直线方程与圆的方程，通过联立方程形成方程组，转化为二次方程根的判别问题从而做出判断。两种方法学生都可以自己讨论得到,通过具体问题学生掌握“代数法”与“几何法”,明确代数法更具有一般性,几何法则紧扣圆的几何特性，充分利用圆的性质。所以在研究直线与圆的位置关系时 “几何法”更实用一些.通过教学想让学生体会：解析几何的核心就是坐标法，计算是必不可少的，提高计算能力也是必要的。但解析几何终究研究的是几何问题，深入研究几何图形的特性，再用代数方法去解决可以减少计算量从而提高解题效率。含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也可适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,想要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、学生情况分析学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识，具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的基本能力。授课班级是区示范校的普通班，学生基础较好，勤于思考，但不是很愿意主动发言，所以教师要设计好问题，引导学生一步一步得出结论.三、教学目标1.知识与技能(1)理解直线与圆的位置关系的种类;(2)掌握用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系;(3)会用直线与圆方程组成的方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系.2. 过程与方法通过直线与圆的位置关系的分类及其判定方法的学习，体会数形结合的思想方法，提高用方程思想解决平面几何问题的能力:3. 情感、态度与价值观通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，体会数形结合的思想.通过直线与圆位置关系的变化，渗透运动观点.四、重点难点教学重点：用解析法判断直线与圆的位置关系.通过直线与圆的位置关系的代数化处理，学生进一步认识到坐标系是联系数与形的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想.教学难点:判断直线与圆的位置关系的方法有图示法、解析法、列方程组法 3种，其中直线与圆方程联立解方程组对学生的计算能力要求较高，而这正是学生需经长期培养方能提高的，这是学生的学习障碍，也是教学难点.五、教学过程设计：这一段时间我们都在学习解析几何的知识。解析几何就是用代数的方法研究几何问题，因此解析几何不仅研究直线与曲线，同时也研究它们的位置关系，前面学习了直线间的位置关系，今天我们来研究直线与圆的位置关系。（一）、复习导入(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圆心为(-,-),半径为.（4）点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0（A2+B2 0）的距离是.设计意图：为本节课的学习做好知识准备。（二）、提出问题，实例研究初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？设计意图：为后面的问题做理论上的准备。你想过下面的问题吗：怎样说明公共点的个数？如何知道d与r的数值呢？初中你是如何回答这些问题呢？结合我们现在正在学习的解析几何知识，你能想到什么方法？（建立坐标系，借助方程来完成。）请大家完成下面的问题：例1 已知直线l： x+3y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2x-4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交，请你求出交点坐标。解:由直线l与圆的方程,得消去x,得y2-3y+2=0,因为=(-3)2-412=10,所以直线l与圆相交,有两个公共点.解得，当时，x；当时，x所以直线与圆 相交，交点坐标为（，），（，）总结方法：1将直线方程与圆的方程联立成方程组.2利用消元法,得到一个一元二次方程.3求出其判别式的值.4比较与0的大小关系,若0,则直线与圆相离；若=0,则直线与圆相切;若0,则直线与圆相交.反之也成立.变式：已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,当=16-4b20,即-2b2时,圆与直线有两个公共点；当=16-4b2=0,即b=2时,圆与直线只有一个公共点；当=16-4b20,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.当dr时,即,即|b|2,即b2或b-2时,圆与直线没有公共点;当d=r时,即=,即|b|=2,即b=2时,圆与直线只有一个公共点；当dr时,即,即|b|2,即-2b2时,圆与直线有两个公共点.总结方法：1把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3作判断：当dr时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相交.变式：已知圆的方程是x2+y2=2,分别求出过点(1, ),(1,1)(0,2)圆的切线方程。小结：首先要判断点与圆的位置关系，然后才能去求切线方程。（三）知识应用例3、有两艘轮船在沿直线返回港口的途中均接到气象台的台风预报:台风中心位于O点，受影响的范围是半径长为40km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北70km的M处，A轮船位于台风中心的正东70km处，B轮船位于台风中心的正西200km处，如果这两艘轮船都不改变航线，那么它们是否会受到台风的影响?三、课堂小结本节课学习了如下内容：1直线与圆的三种位置关系(1)代数法：从公共点数来判断(2)几何法从d与r间的数量关系来判断2. 利用本节知识解决实际问题本节课我们重点用了解析法（坐标法）来解决直线与圆的位置关系的相关问题，平面解析几何研究的对象就是平面图形（点、直线、圆），当然要充分挖掘几何图形结构的特征，合适的“特征量”的选取很重要，比如本节课两种方法其实就是选取了不同的特征量“”和“交点”，大家可能觉得用法的计算明显比法的简单，这就是由于圆的特殊结构。可如果把圆换成别的曲线就没有“”了