同济大学 高数 三重积分

.,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,.,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量M.,密度函数为,.,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,下列“乘,积和式”极限,(的体积）,(为曲面）,.,在有界闭域上连续,关于,面,对称,为对,应,的,部分，,则,关于,有,轮换对称性，,则,当,(即,时，,将,任意,互换,得到的点,也,属于),则,等,对称,的性质,.,例1,P1821(1),例2,其中为三个坐标,面及平面,所围成的闭区域.,解:,关于,有,轮换对称性，,则,故,.,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.(“先一后二”),方法2.(“先二后一”),方法:,方法1.(“先一后二”),步骤：,把,往,面作投影得积分区域,假设平行于轴且穿过区域,的边界曲面相交不多于两点.,在内任取一点,过,作平行于轴,的直线,交,的边界曲面,于两点,和,内部的直线与闭区域,.,P,.,则,.,若,则,P,.,方法2.(“先二后一”),适用范围:,被积函数,只,变,与,一个,量,有关，,且,截面,的面积,易,计算.,或,易,计算.,若,.,当被积函数在积分域上变号时,因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,.,其中为三个坐标,例3.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,（法一）,.,（法二）,例3.,.,例4.计算三重积分,解:,用“先二后一”,？,.,其中,由曲面,及平面,所围成的闭区域.,例5.,.,其中,由,曲面,及平面,所围成的闭区域.,例5.,解:,.,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,.,直角坐标与柱面坐标的关系:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,.,其中,适用范围:,圆锥面;,旋转,抛物面;,柱面,积分域,由,围成,.,利用柱坐标计算三重积分的步骤,把,往,面作投影得积分区域,在内任取一点,，过,作平行于轴,的直线,交,的边界曲面,于两点,和,且,则,.,例6.计算三重积分,其中为,由,及平面,所围立体.,解:,在柱面坐标系下,法1,.,法2,用“先二后一”,.,其中为,例7.计算三重积分,所,解:在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,.,例8.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,.,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,.,直角坐标与球面坐标的关系,.,其中,适用范围:,积分域,球面，,球面,由,圆锥面,或,和,围成；,.,利用球坐标计算三重积分的步骤,确定的限,将积分区域,面作投影得积分区域,往,，对,按平面极坐标确定角的变化范围,确定的限,对固定,过轴作一半平面，这半平面与,相交得域,，对,按平面极坐标确定角的变化范围,中任一点的极坐标为,是,转至,的转角.,最大变化范围,最大变化范围,轴,对固定,和,从原点出发作,.,射线,这射线从,进入区域,从,穿出区域,则,其中,.,例9.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,.,连续,且,其中,例10.,讨论,在,内,单调性；,证明,当,时，,解:,.,在,内,单调递增。,故,.,证明：,令,.,当,时，,单调递增。,当,时，,故,.,作业,P1641(2);4;8;9(2);,第四节,.,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,*说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,.,1.将,用三次积分表示,其中由,六个平面,所,围成,2.设,计算,3.设由锥面,和球面,所围成,计算,练习,其中由,所,围成.,计算三重积分,.,1.将,用三次积分表示,其中由,所,六个平面,围成,解：,.,2.设,计算,提示:利用对称性,原式=,奇函数,.,3.设由锥面,和球面,所围成,计算,解：,利用对称性,用球坐标,.,解：,.,备用题1.计算,所围