已阅读5页,还剩32页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1.微分方程的基本概念,2.一阶常微分方程3.二阶线性微分方程,十七世纪末,力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中,函数关系不能直接写出来,而要根据具体问题的条件和某些物理定律,首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式,即微分方程,然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。,学科背景,解,A.求曲线方程,问题的提出:,一质点在重力作用下自由下落(不计空气阻力),试求质点下落距离S与时间t的函数关系。解:将质点的初始位置取为原点,沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为g,即:,B.质点自由下落,定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.,未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.,未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.,例如,5.1微分方程的基本概念,例如,定义2:(微分方程的阶)未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.,定义3:(微分方程的解),称为微分方程的通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.,微分方程的通解:,定义5:(积分曲线与积分曲线族),积分曲线族,1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?,2.判断下列函数是否是微分方程,的解,是通解还是特解?,(1),(2),(3),(4),.,11,5.2一阶常微分方程,1.变量可分离型,3.一阶线性方程,2.可化为可分离变量,主要类型,.,12,5.2.1可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程,这类方程的解法,通常是先将变量分离,再两边积分即可.,.,13,两边积分,通解,分离变量,这两个方程的共同特点是变量可分离型,.,14,(1)解,两边积分,分离变量,即,于是得到方程,通解,.,15,(2)解,分离变量,两端积分,得,通解,奇异解,.,16,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,.,17,5.2.2可化为可分离变量的方程,解齐次方程时,通常用变量替换法,即,将齐次方程化为可变量分离的方程.,.,18,这两个方程的共同特点是什麽?,可化为,齐次型方程,求解方法,这是什麽方程?,可分离变量方程!,.,19,分离变量,两端积分,由此又得到,通解,.,20,得,通解,.,21,.,22,例3,解,.,23,.,24,可得OMA=OAM=,例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕x轴旋转而成.,过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而AO,于是得微分方程:,.,25,利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),.,26,顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,.,27,.,28,(1)如何解齐次方程?,标准形式:,5.3一阶线性微分方程,分离变量,齐次通解,解得,非齐次,齐次,.,29,(2)用常数变易法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1),经计算得到,.,30,化简得到,即,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,.,31,非齐次通解,齐次通解,.,32,例1求的通解。,原方程化为,其中,解,.,33,例2.解方程,解:,利用求解公式,.
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 职场心理韧性:从玻璃心到钻石心的转变
- 点胶机维修手册
- 新解读《DB 11T 1509-2018公路工程设计导则 》
- 福建省福州市六校2023-2024学年高二下学期期末联考语文试题(解析版)
- 中国纯牛奶行业市场广告调查
- 人力资源成本控制与效率提升方法探讨
- 股权结构对公司环境责任报告的提升作用研究分析
- 江苏省南通市2024年中考数学仿真试卷含解析
- unit5(基础作业)2024-2025学年五年级上册 英语 人教版
- 新材料科技行业经营模式分析
- 人教版(2024)数学小学一年级上册第二单元第3课时分与合《6、7的分与合》教学课件
- 苏州市2025届高三期初阳光调研(零模)语文试卷(含答案)
- 2024至2030年中国微电网技术进展与前景预测分析报告
- 2024-2030年全球与中国智能垃圾桶行业市场现状调研分析及发展前景报告
- 上海市2024年中考语文一模汇编:说明文
- 2024医疗纠纷预防处理和法律法规培训试题及答案
- 2024年厂房转让合同(二篇)
- 2024年计算机二级MS Office考试题库500题(含答案)
- DL-T 1476-2023 电力安全工器具预防性试验规程
- 中华民族共同体概论课件专家版3第三讲 文明初现与中华民族起源(史前时期)
- 中医饮食营养学(中医饮食营养学讲稿)
评论
0/150
提交评论