中考数学压轴题专题六-方案设计题

中考数学压轴题专题六 方案设计题试题特点方案设计型问题是近年中考数学试卷中的热点和亮点，此类问题要求综合运用已有的知识和经验，经过自主探索以及解决问题方案的设计和选择，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，通过对此类问题的解答能感受“问题情境建立模型求解解释与应用”的基本过程，体会数学知识与现实生活之间的联系，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，产生丰富多彩的研究体验和个性化创造性的表现因此，此类问题是考查创新意识的重要载体由于方案设计型问题常常可以设计多种方案，并要进行方案的比较和选择，方案设计型问题能有效考查分类、优化等数学思想方法方式趋势方案设计型问题的命题将更加贴近考生的生活实际，关注数学应用的社会价值，加强对应用意识的考查涉及的知识还将以方程、函数、不等式、解三角形、统计与概率等为主，以这些知识为载体，突出考查分析问题和解决问题的能力，以及从实际生活中抽象出数学模型的能力，并在其中渗透分类思想和优化思想，以形成学数学、用数学、做数学的良好意识热点解析一、不等式（组）型【题1】为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台，根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元，其中，收割机的进价和售价见表1：设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元(1)试写出y与x的函数关系式(2)该市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？(3)选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？ 【思路】“一次性购进A、B两种型号的收割机共30台”蕴含等量关系，“全部销售后利润不少于15万元”和“资金130万元”蕴含不等关系利用已知条件，把等量关系或不等关系表示出来【解答】 (1)y(65.3)x(43.6)(30x)0.3x12(2)依题意，有，即，10x12 x为整数，x10，11，12 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择： 方案1：购A型收割机10台，购B型收割机20台； 方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台； 方案3：购A型收割机12台，购B型收割机18台 (3)0.30，一次函数y随x的增大而增大 即当x12时，y有最大值，y最大0.3121215.6（万元） 此时，W613%12413%1818.72（万元） 【失分点】 根据“资金130万元”和“不少于15万元”可列，而不是 【反思】以不等式（组）为载体的方案设计型试题在中考数学试卷中最为常见，由于建立的不等式（组）模型的解不唯一，就产生多种解决问题的方案，往往需要从中选择最优方案 【牛刀小试】1（2011山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本 (1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？ （2011重庆江津）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，矩形的边长ABy米，BCx米(注：取3.14) (1)试用含x的代数式表示y (2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元 设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式 若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？ 若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由二、方程（组）型 【题2 2010年1月1日，全球第三大自贸区中国一东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易区开始步人“零关税”时代广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地，先用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，已知这两种货车的载重量分别为15吨辆和10吨辆，运往A地的运费为：大车630元辆，小车420元辆；运往B地的运费为：大车750元辆，小车550元辆 (1)求两种货车各用多少辆； (2)如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于115吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费 【思路】 已知运货的总量、大小车辆总数和运送能力、费用，“大、小两种货车共20辆”、“240吨白砂糖”蕴含等量关系把总运费用函数表示可求出最少总运费【解答】(1)设大车用x辆，小车用y辆依据题意，得，解得大车用8辆，小车用12辆 (2)设总运费为W元，调往A地的大车为a辆，小车为(10a)辆，则调往B地的大车为(8a)辆，小车（a2）辆根据题意，有 W630a420(10a)750(8a)550(a2)， 即W10a11300（0a8，a为整数） 15a10(10a)115，a3 又W随a的增大而增大，当a3时，W最小 当a3时，W1031130011330（元） 因此，应安排3辆大车和7辆小车前往A地；安排5辆大车和5辆小车前往B地最少运费为11 330元， 【失分点】a的取值范围确定错误“的最小值不是0，而应由15a10（10 a）115，得到a3，因此，a应取3，运费最少 【反思】(1)还可这样解： 设大车用x辆，小车用(20x)辆依据题意，得15x10(20x)240 解得x8 20x20812(辆) 大车用8辆，小车用12辆 【题3】在车站开始检票时，有a(a0)名旅客在侯车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕，如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 【思路】此题已知的常量只有三个时间，未知的量却有四个：字母a；每分钟新增加的旅客的人数x；检票口每分钟检票的人数y；所要求开放的检票口n题中含有的相等关系或不等关系有：开放一个检票口时，存在等量关系a30x30y；开放两个检票口时，存在等量关系a10x210y；5分钟检票完毕时，存在不等关系a5xn5y先由两个相等关系式求出x，y，再利用不等关系式求出n的范围，根据a0，n为正整数来确定n的值 【解答】设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口根据题意，得3，得2a30y，得把代入，得x把、代入，得，a0，n n取最小的整数，n4 答：至少需要同时开放4个检票口 【失分点】由“要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕”，可列不等式a5xn5y，而不是方程a5xn5y 【反思】解决这道中考题的关键是：架桥引入参数“x、y”，设“x、y”目的是架桥；让“x、y”参加运算，目的是过河；消“x、y”目的是拆桥，求出结果解法巧妙之处在于利用“x、y”这个参数，巧设巧消妙搭桥这种“过河拆桥”设而不求的思维方法，也是解决应用题的一种重要策略 【牛刀小试】3（2010江苏盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一，根据国家药品政府定价办法，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题： (1)降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元，那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？(2)降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装，近期该医院准备从经销商处购进甲、乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元请问购进时有哪几种搭配方案？4（2011四川凉山州）我州盛产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会现有A型、B型、C型三种汽车可供选择已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满根据下表信息，解答问题(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式(2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案(3)为节约运费，应采用(2)中哪种方案？并求出最少运费三、函数型 在方案设计型问题中，以函数为载体的试题通过对函数之间关系的研究，选择恰当的解决方案，突出了对分类思想的运用和考查， 【题4】春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图2所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票） (1)求a的值 (2)求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数 (3)若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？ 【思路】(1)由点B坐标可知，当xa时，y320，列关于a的方程求解 (2)求出a后，直线AB和BC的关系式可求，可以知道x60时，符合AB段还是BC段，把x60代入函数关系式即可求出y (3)根据“售票数初始待购票人数购票人数”列不等式 【解答】(1)由图象知，4004a23a320，所以a40(分钟)(2)设BC的解析式为ykxb，则把(40，320)和(104，0)代入，得，解得，因此y5x520当x60时，y220 即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人 (3)设同时开放m个窗口，则由题知3m30400430，解得m因为m为整数，所以m6，即至少需要同时开放6个售票窗口 【失分点】根据“要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票”可列不等式3m30400430，而不是方程3m30400430 【反思】根据已知条件，找出等量关系或者不等关系以及函数关系，再数形结合解决问题 【题5】(2011江苏无锡)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元吨)与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C) (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本是2 800元吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ 【思路】(1)由图象知0x20时，函数值为8 000，得y8000；20x40时，函数图象经过(20，8000)，(40，4000)，由待定系数法可求得y200x12000 (2)由利润、收入、成本的关系可推得w(x)的关系式，分析一次函数和二次函数的最大值可解【解答】(1)由图象知y (2)利润收入成本采购价采购量成本，即wyx2800x，由(1)有w w5200x(00， 最大值为520020； w200x29200x(20x40)是二次函数的一段，且a2000， 当x23时，w有最大值叫w200232920023 因此综上所述，张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润w最大，最大利润是元 【失分点】利润收入成本采购价采购量成本，即wyx2800x 【反思】涉及的知识点有：一次函数、二次函数的性质和应用 【题6】在生产中，为了节约原材料，加工某些零件时常用一些边角料，如图4ABC是一块锐角三角形的余料，其中BC12 cm，BC边上的高AD8 cm，在ABC上截取矩形PQMN，使QM在BC边上，点P、N分别在边AB、AC上试判断点P、N在什么位置时，可能使矩形PQMN的面积最大？求出最大面积，并求出此时矩形的长和宽分别是多少 【思路】有关面积问题应该构造二次函数关系式来解决，设面积为S，则SPQPN，可设PQ为x cm利用相似三角形的知识可以用含x的代数式表示出PN，这样就可以求出结论 【解答】设PN交AD于点E，且PQx cm，PNy cm，则AE（8x）cm PN/BC，APNABC，即 y（8x） 设矩形的面积为S，则 SPNPQxyx（8x）x212x(x4)224 当x4，y(84)6时，函数有最大值 即P、N分别为AB、AC的中点时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为24 cm2，此时矩形的长为6cm宽为4 cm 【失分点】未通过函数关系式，而是想当然地得到到矩形PQMN为正方形时，面积最大 【反思】利用几何知识构造函数关系式，并求出函数的最值 【牛刀小试】5（2010河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售 若只在国内销售，销售价格y（元件）与月销量x（件）的函数关系式为yx150，成本为20元件，无论销售多少，每月还需支出广告费62 500元，设月利润为w内（元）（利润销售额成本广告费） 若只在国外销售，销售价格为150元件，受各种不确定因素影响，成本为a元件(以为常数，10a40)，当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润销售额成本附加费） (1)当x1000时，y_ 元件，w内_元 (2)分别求出w内、w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围） (3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值 (4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标是（，）6（2010四川广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占总面积的60%表3是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表： (1)设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式 (2)在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？(3)在(2)中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？四、解三角形型 以解三角形为载体的方案设计型问题，常常是一个微型的“课题学习”，不仅具有实践性、活动性的特点，同时也具有较高的思维价值 【题7】（2007乐山）如图5，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB，要求： (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）； (3)根据(2)中的数据计算AB 【思路】这是典型的“底部不能到达的测量”问题利用三角函数知识可以求解【解答】(1)测量图案如图6(2)测量步骤：第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时树尖A的仰角AHE=第二步：沿CB前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离CDm 第三步：在点D安装测角仪，测得此时树尖A的仰角AFE 第四步：用皮尺测出测角仪的高h (3)计算：令AEx，则tana，得，又，得HEFEHFCDm，解得， 【失分点】计算AB时未加上h 【反思】本题首先要把实际问题转化为数学问题，构造出两个直角三角形，再利用三角函数知识求解【牛刀小试】7(2010黄冈)如图7，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长 8（2010云南昭通）云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图8所示），ADBC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角B30，迎水坡CD上线段DE的长为8米，ADC120 (1)请你帮技术员算出水的深度(精确到0.01米，参考数据1.732)；(2)就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0. 01米）五、统计与概率型 在有关统计与概率的中考数学试题中，方案设计型问题难得一见，特别是统计试题中，方案设计型问题主要是设计游戏规则【题8】射击队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，他们的成绩如图9所示(1)请根据图5所提供的信息完成表4：(2)如果你是教练，你会选择哪位运动员去参加比赛？请说明理由 【思路】(1)根据图形寻找信息，弄清选人的依据根据平均数、众数、方差定义计算填表(2)多方位比较，选拔参赛选手【解答】(1)见表5： (2)从射击的平均水平来看，甲、乙两人一样；从众数来看，乙好于甲；从稳定程度来看，甲好于乙，为了保证能够稳定发挥，选甲参加比赛， 【失分点】选择哪位运动员参加比赛，必须说明理由，用数据说话如，“从射击的平均水平来看”、“从稳定程度来看” 【反思】(1)“图表综合”是统计学的亮点，读懂图表是解决问题的关键(2)选拔运动员参加比赛，因素很多从数学角度考虑，可以比较平均数、众数、中位数、极差、方差等统计量，了解运动员成绩分布情况和稳定性 【题9】甲、乙两位同学本学年11次数学单元测验成绩（整数）的统计如图10所示： (1)分别求他们的平均分与方差；(2)请你从中挑选一人参加“数学文化节”竞赛，并说明你挑选的理由 【思路】本题是一道与统计有关的数据信息题，要计算平均数和方差，从统计图中获取正确的信息，从统计图中可以得到甲的成绩分别是：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93；乙的成绩分别是98，99，96，94，95，9292，98，96，99，97可以直接根据定义、公式计算求得，可结合数据进行优选 【解答】(1)（119531051464102）96 (119534110333142)96 (9896)2(10096)2(9396)217.8(9896)2(9996)2(9796)25.8 (2)甲、乙二人的平均分相同，从达到100分的次数来看，应该选择甲同学参加比赛，因为甲达到100分的次数比乙多，比乙更容易获得高分；从成绩比较稳定来看应选择乙，因为乙的方差比甲的小，说明乙的成绩比较稳定 【失分点】选择哪位运动员参加比赛，必须说明理由，用数据说话，如“从达到100分的次数来看”、“从成绩比较稳定来看” 【反思】要对各种统计数据进行比较分析，并根据需要决定参赛人选答案不唯一 【题10】（2010甘肃兰州）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为123，5的四张樟给小莉，将数字为4，6，7，8的四张睥留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数则哥哥去 (1)请用树状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率； (2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则，【思路】游戏规则是否公平，要计算下概率若两人去的概率相同，则游戏公平，否则不公平而求概率的常用方法为列表法或树状图法【解答】(1)所有可能的结果如表6： 一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同 和为偶数的概率为，所以小莉去上海看世博会的概率为 (2)由(1)列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利 请同学们自行设计公平的游戏规划，答案略 【失分点】重新设计游戏规则是一个难题，也是容易失分之处，一般情况下，是在原规则的基础上，对数据进行修改 【牛刀小试】9(2010辽宁丹东市)四张大小、质地相同的卡片如图11所示将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上 (1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由