圆的一般方程

.,4.1.2圆的一般方程,.,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,特况：若圆心为O（0，0），则圆的方程为：,圆的标准方程,一.复习引入：,.,思考:下列方程表示什么图形?,以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.,不表示任何图形.,以(1,2)为圆心,2为半径的圆.,一.圆的一般方程：,.,探究:方程在什么条件下表示圆?,1)当时,方程表示以点为圆心，为半径的圆.,2)当时,3)当时,方程表示点,方程不表示任何图形.,.,圆的一般方程:,圆心:,半径:,.,圆的一般方程：,x2y2DxEyF0,圆的一般方程与标准方程的关系：,(D2+E2-4F0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,.,1.AC0,2.B=0,3.D2E24F0,二元二次方程表示圆的一般方程,圆的一般方程与二元二次方程的关系,.,练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.,半径:,圆心:,半径:,圆心:,圆心:,半径:,.,练习：将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心坐标及半径,.,P122例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,几何方法,方法一：,y,x,M1(1,1),M2(4,2),0,二.圆的一般方程的应用：,.,因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上,待定系数法,方法二：,例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,.,例4：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,解：设所求圆的一般方程为：,因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系数法,方法三：,.,求圆方程的步骤:,1.根据题意,选择标准方程或一般方程.,若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;,若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;,2.根据条件列出有关a,b,r,或D,E,F的方程组.,3.解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.,(待定系数法),.,练习:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.,3,解:设圆的方程为:,因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,圆的方程:,即:,圆心:,半径:,.,x,y,a,P(x,y),P(x,y)是直线a上任意一点,点P的坐标(x,y)满足的关系式,C,M(x,y),M(x,y)是圆C上任意一点,点M的坐标(x,y)满足的关系式,求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.,三.求与圆有关的轨迹问题：,.,P122例5已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）,.,解.设M的坐标为(x,y)A的坐标为(x0,y0),因为M是AB的中点,即,又点A在圆,上,代入得,即,主动点,被动点,设主动点为(x0,y0),被动点为(x,y),所以M的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆,x0=f(x),y0=g(y),代入主动点方程,整理得轨迹方程,主被动点法,.,求动点轨迹的步骤:,1.建立坐标系,设动点坐标M(x,y);（建系设点）,2.列出动点M满足的条件并列出等式;（条件立式）,3.列方程化简，并说明轨迹的形状.（列方程化简）,.,.,.,.,.,.,.,.,1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(用配方法求解),3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),.,求圆的方程常用方法及解题步骤：,几何方法,求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦