大学物理刚体课件.ppt

1,第四章（2）刚体,2,平动在刚体运动过程中,如果刚体上的任意一条直线始终保持平行,这种运动就称为平动。可用质心运动讨论。T5-0.exe,转动在刚体运动过程中,如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。T5-1.exe,刚体在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。,一、平动和转动(Translationandrotation),既平动又转动质心的平动加绕质心的转动。,刚体的运动,3,在刚体转动中,如果转轴固定不动,称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。,刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速度和角加速度,在相同的时间内有相等的角位移。但是位移、速度和加速度却不相等。,一般情况下,角速度和角加速度是矢量,但在定轴转动中它们的方向沿着转轴,可以用带正负号的标量来表示。,二、刚体的定轴转动(Fixed-axisrotation),4,三、刚体转动的角速度和角加速度,角速度的方向由右手定则确定。,角速度刚体在dt时间内的角位移dq与dt之比。,5,、本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：,四、匀变速转动公式（=衡量）,6,五、刚体运动学中角量和线量的关系T5-2.exe,由定义得：,例1：设圆柱型电机转子由静止经300s后达到18000r/min，已知转子的角加速度a与时间成正比，求转子在这段时间内转过的圈数。,解：因角加速度随时间而增大，设：=ct,7,对上式两边积分,由条件知,所以,由角速度定义,得到：,转子转数：,8,设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,rn。,n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：T5-3.exe,一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy),刚体动力学,9,式中称为刚体对转轴的转动惯量。,代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式,刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。T5-3.exe,用J表示：,10,二、刚体的转动惯量(Momentofinertia),从转动动能公式看到,刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。,若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替,11,例1：一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63rads-1旋转,求转动动能。,解：先求细棒对转轴的转动惯量J,然后求转动动能Ek。,将棒的中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴,如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为,12,根据式(5-4),应有,棒的转动动能为T5-4.exe,13,两个定理,14,解：两平行轴的距离,代入平行轴定理，得,15,例3：求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。,解：盘的质量分布均匀,盘的质量面密度为,取半径为r、宽为dr的圆环如图所示，其质量为T5-5.exe,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,16,根据垂直轴定理,由于对称性,所以,解得,17,三、力矩作的功,在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。,因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以,假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是,在刚体转动中,外力所作的元功为,18,式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。T5-6.exe,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为,式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。,19,如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为,力矩的瞬时功率可以表示为,式中是刚体绕转轴的角速度。,20,例：半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球到达B点时的角动量和角速度。,解：小球受重力矩作用,21,四、动能定理(theoremofkineticenergy),根据功能原理,外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体,外力的功即为外力矩所作的功;系统的机械能为刚体的转动动能。,将转动动能的具体形式代入上式并积分,得,22,定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。,五、转动定理(Theoremofrotation)T5-7.exe,将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子,得,23,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。,转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,或者写为,上式就是转动定理的数学表达式。,24,a,例定滑轮可视为均匀圆盘，物体与桌面间的滑动摩擦系数为,绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮轴摩擦忽略。,1)下落加速度,2)绳中张力,25,例可视为均匀圆柱体的两个滑轮同轴固结在一起，绕O轴转动.,转动惯量可加,26,o,c,mg,例均匀米尺绕O点转动,1)刚释放米尺的角加速度,2)竖直位置的角加速度,3)任意位置的角加速度,加速度,27,28,29,30,例板静止于光滑台面图示位置，在恒力作用下使之与滑轮无相对滑动的通过轮子，忽略轴摩擦。,1)板在运动过程中与轮间摩擦力,2)板与轮脱离接触时的速率,31,设刚体绕z轴作定轴转动，体元mi对轴的角动量,lzi=rimivi,一、刚体对转轴的角动量(Angularmomentum),定轴转动刚体的角动量守恒定律,32,二、刚体对转轴的角动量定理,由上式得到,刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。,33,可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量。,对上式积分得到角动量定理的积分形式,34,刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。,刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。,三、刚体对转轴的角动量守恒定律,35,刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。T5-10.exe,36,解：,37,碰撞t极