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1.3向量范数与矩阵范数,为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn中向量或Rnn中矩阵的“大小”引进某种度量-向量或矩阵的范数。向量范数是三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在数值分析中起着重要作用。,1.3.1向量范数向量的范数是刻画向量大小的量,又叫向量的模.,(1)正定性:,且;,(2)齐次性:对,有;,(3)三角不等式:.,定义Rn上的实值函数称为向量范数，如果对任意的x,yRn,它均满足下列3条性质:,定理1.1对Rn中的任一向量,则和都是向量范数.,T,3种常用的范数,证明仅证是向量范数.,(2)对任意的实数k,有,证毕,p-范数,叫1-范数,(列范数);,叫2-范数,(Euclid(欧几里得)范数);,叫-范数,(行范数);,其中,练习:计算向量的各种范数.,任2种范数在刻画收敛性时等价,定理1.2对Rn上的任意二种向量范数|a,|b,均有与向量x无关的常数m与M(0m0.,(2)对任意的数kR，有,(3)对任意的nn矩阵A和B,有,(4)对任意的nn矩阵A和B,有,证毕,上式所定义的矩阵范数叫做从属于所给定向量范数的矩阵范数,又称为矩阵的算子范数.,设给定的向量范数为|p,则从属于向量范数的矩阵范数为:,上式中矩阵范数|A|p也叫A的p-范数.矩阵的p-范数与向量的p-范数相容,即,|Ax|p|A|p|x|p.,定理1.4（几种常用的范数）,证明对于2-范数,设n维向量x满足|x|2=1.注意到,因为，ATA是正定或半正定的,故它的全部特征值li非负,设,设（ATA）相应的规范正交特征向量为u1,u2,un，因而存在实数k1,k2,kn，使,并且有,由此可得,所以,取,则有,以及,1,-范数公式证明,证毕,单位矩阵I的任何一种算子范数都有,还有一种常用的矩阵范数，称为Frobrnius（佛罗贝尼乌斯）范数，又称为Euclid范数。,注:不从属于任何向量范数，即不是算子范数.,几种常用的相容关系,定理1.5设矩阵ARnn的某种范数|A|1，则IA为非奇异矩阵，并且当该种范数为算子范数时，还有下式成立。,证明假定IA奇异，则齐次线性方程组(IA)x=0有非零解,在上式两边同取与所用矩阵范数数相容的向量范数，得,因，故由上式得。与已知条件矛盾，因而必非奇异。,由于,在最后一式两端取范数，得,因为，故,同理可证,证毕,解,特征多项式为,最大的根为,练习:计算矩阵的各种范数.,对于1-范数,设.矩阵A可表示为,其中,定理1.4第1个结论的证明,且,于是有,取,它
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