三年高考（2014-2016）数学（理）真题分项版解析—— 专题07 不等式

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第七章 不等式 一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2. 【2014高考北京理第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）A2 B C D【答案】D【解析】试题分析：若，没有最小值，不合题意；若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.考点：不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.【名师点睛】本题考查线性规划有关知识,本题属于基础题，近几年高考线性规划为必考基础题，线性规划考试题型有两种，一种是类似本题求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数.3. 【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）A0B1CD2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.考点定位：本题考点为线性规划的基本方法【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令，画出直线，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.4.【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ） A B. 6 C. D. 4【答案】【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由得，由上图结合题意可知当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选【考点定位】二元一次不等式的线性规划【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题5. 【2014高考广东卷.理.3】若变量.满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，故选C. 【考点定位】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中等题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误6. 【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C【解析】试题分析：如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，故选C考点：线性规划【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误7.【2015高考山东，理5】不等式的解集是（ ）（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.8. 【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. 9. 【2014山东.理9】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，所以，时，选.【名师点睛】本题考查简单线性规划、二次函数的图象和性质.此类问题的基本解法是“图表法”，即通过画可行域及直线axby=0，平移直线axby=0，观察其在y轴的纵截距变化情况，得出最优解.要注意y的系数正负不同时，结论恰好相反.本题属于小综合题，由以往单纯考查线性规划问题，转变成此类题，增大了解题的难度，也给人耳目一新的感觉.10. 【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为4，故选C. 考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.11.【2015高考陕西，理9】设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误本题先判断和的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小12. 【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D【考点定位】线性规划【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误13. 【2014新课标，理9】设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 10 B. 8 C. 3 D. 2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线，可知当经过两条直线与的交点A（5，2）时，取得最大值8，故选B.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题考查了线性规划问题的解法，本题属于基础题，要求学生根据所给二元一次不等式组画所表示平面区域，然后根据目标函数的几何意义，由图形直观地观察得到目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值，本题有两个关键点：一是平面区域必须作正确，且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.14. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ ）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，则a2+b2+c2100B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则a2+b2+c2100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则a2+b2+c2100【答案】D考点：不等式的性质【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式15. 【2014四川，理4】若，则一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，又.选D【考点定位】不等式的基本性质.【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性,可推：.16.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.17. 【2014课标，理9】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ， ，其中的真命题是（ ）A B C D【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，设，则，当直线过点时，取到最小值，故的取值范围为，所以正确的命题是，选B【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词【名师点睛】本题考查命题的真假判断与应用，线性规划和存在量词和全称量词，着重考查考生的数形结合能力，熟练作图和正确分析是解决本题的关键，本题的综合性很强.18. 【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论 19. 【2014，安徽理5】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为 （ ）A， B C2或1 D【答案】D【解析】试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或考点：1线性规划求参数的值【名师点睛】线性规划问题中的目标函数一般都有明显的几何意思，如直线在轴上的截距、斜率、距离等，要根据目标函数的几何意义灵活应用.对于含参数的目标函数，如型，可变形为斜截式，进而考查轴上截距的取值范围.20. 【2014天津，理2】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】试题分析：由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线经过点时，故选B考点：1二元一次不等式组表示的平面区域；2线性目标函数的最值问题【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令，画出直线，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题. 线性规划考试题型有两种，一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围，本题属于第二类，对可行域提出相应的要求，求参数的取值范围.21. 【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值 【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.22.【2014湖北卷7】由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】D考点：不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题.【名师点睛】将一元二次不等式组所表示的平面区域和几何概型联系在一起，重点考查几何概型，其解题的关键是正确地画出一元二次不等式组所表示的平面区域.能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.23. 【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得， 同时成立，则正整数的最大值是（ ） A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4.【考点定位】函数的值域，不等式的性质.【名师点睛】这类问题一般有两种：表示不超过的最大整数；表示不小于的最大整数. 应注意区别.24.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题25. .【2014辽宁理11】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，令，即，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.26. 【2015湖南理2】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.27.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.28.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.二、填空题1. 【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即考点：简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果2. 【2014高考广东卷.理.9】不等式的解集为 .【答案】.【解析】令，则，【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式，属于容易题解题时一定要注意解与解集的区别，否则很容易出现错误零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间，去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值3. 【2014湖南14】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.【答案】【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且不等式组限制的区域如图,所以,则当为最优解时,当为最优解时, 因为,所以,故填.【考点定位】线性规划【名师点睛】有关线性规划的题目主要是根据所给不等式组得到对应的可行域，然后根据目标函数满足的条件结合其对应的几何意义进行发现计算即可. 常见的目标函数有： (1)截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值 (2)距离型：形如. (3)斜率型：形如.注意：转化的等价性及几何意义4. 【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元 【答案】【解析】试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.5. 【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题6.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.【考点定位】线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.7. 【2014年.浙江卷.理13】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_.答案：考点：线性规划.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.8. 【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9. 【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 【答案】.【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点，结合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理科试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函数或可行域的几何意义求解，在复习时应予以关注.12. 【2015高考江苏，7】不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，解集为【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程的解集，先研究，按照，三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.14. 【2014湖北卷14】设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（1）当时，为的几何平均数；（2）当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：设，则三点共线：依题意，则，化简得，故可以选择.依题意，则，化简得，故可以选择.考点：两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等.新定义型试题是高考的热点试题，考生错误往往有二，其一为不能正确理解题意，将新问题转化为所熟悉的数学问题；其二，不具备归纳、猜想、推