概率论与数理统计习题.doc

实用文档第一章 概率论的基本概念一、填空题:1.设则 , , 。2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为 。3.设A，B，C为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=,则A,B,C中至少有一个发生的概率为 .4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为 .5. 设A，B为两事件, 当A，B不相容时, 当A，B相互独立时, 。 二.、选择题 1. 1设A，B为两随机事件，且则下列式子正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）2.每次试验成功的概率为p(0 p1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。（A） （B）（C） （D） 3.设A,B为两事件,则P(A-B)等于( )。 (A) (B) （C） (D) 4.关于独立性,下列说法错误的是( )。(A)若则其中任意多个事件仍然相互独立;（B）若则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立（C） 若A与B相互独立, B与C相互独立, A与C相互独立, 则A,B,C相互独立;（D） 若A,B,C相互独立,则与C相互独立5. n张奖券中含有m 张有奖的, k个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是( )。(A) (B) （C） (D) 三、解答题1写出下列随机式验的样本空间及事件A包含的样本点（1）掷一颗骰子，设事件A=出现奇数点；（2）一袋中有5只球，分别编号为1，2，3，4，5，从中任取3球。A=取出了3只球的最小号码为2。2设A，B，C为三个随机事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中到少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C中不多于一个发生。3已知，求下列三种情形下的值（1）A与B互不相容；（2）；（3）A与B相互独立。4一批产品共40个，其中5个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率。A=取出的4个产品中恰有1个次品; B=取出的4个产品中至少有1个次品5已知在10件产品中有2只次品，在其中两次，每次取一只，作不放回抽样求下列事件的概率（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。6三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为求：（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率； （2）三人全部将此密码译出的概率。7已知男性中有5%是色盲，女性中有0.25%是色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲，问此人是男性的概率是多？8设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该产品是工厂A生产的概率。第二章 随机变量及其分布一、填空题:1一袋中装有5只球，编号分别为1，2，3，4，5在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，则随机变量X的分布律为 .2.设随机变量X的分布律为则常数c = 3.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 . 4. 设连续型随机变量X的分布函数为,则常数A= ,= 5.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为 . 二、选择题1.常数b=( )时, 为离散型随机变量的概率分布. (A) 2; (B) 1; (C) ; (D)3 2.若要可以成为随机变量X的概率密度,则X的可能取值区间为( ) (A) (B) (C) (D) 3.设随机变量X与Y 均服从正态分布, 记,则( ) (A) 对任何实数,都有 (B) 对任何实数,都有 (C) 只对的个别值,才有 (D) 对任何实数,都有 4.如下四个函数,哪个是分布函数( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题1一批零件有9个合格品,3个废品，安装机器时,从这批零件中任取一个,若果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布律.2设离散型随机变量的分布函数为，求X的分布律。3设随机变量X的分布律为X-2-1013求：（1）的分布律 （2） (3)X的分布函数 4设连续型随机变量X的概率密度为，求：（1）常数A（2）（3）X的分布函数。5设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出Y的分布律，并求。6由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数的正态分布。规定长度在范围内为合格品，求一螺栓不合格的概率。7设随机变量X在上服从均匀分布，求Y=sinX的概率密度。第三章 多给随机变量及其分布一、填空题：1若（X，Y）的分布律（下表）已知，则a,b应满足的条件是_，若X与Y独立，则a=_，b=_，F(2,1)=_。 XY12312ab2设（X，Y）在以原点为中心，r为半径的圆盘上服从均匀分布，即,则c=_。3用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表述以下概率：=_;=_;=_。4为(X，Y)的联合分布函数，则它的联合概率密度=_。5设随机变量X与Y的相互独立，且，则_。二、选择题：1设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：则概率为（ ）。(A) 0.5 (B) 0.3 (C) (D) 0.42设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为下表（1），（2），则下列式子正确的是（ ）。(A) X=Y (B) (C) (D) 3.下列四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数（ ）。（A）；（B）；（C） ；（D）。4设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为，则的分布函数为( )。（A）；（B）；（C）；（D）；5随机变量X与Y相互独立，且和，则以下正确的是( )。（A） （B） （C） （D）三、计算题：1在一箱了中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样：（2）不放回抽样。 定义随机变量如下：试分别就(1)(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律和边缘分布律。2甲乙两人独立地进行两次射击，设甲乙的命中率分别为0.2，0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布律和边缘分布律。3.设X和Y是两个相互独立随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密度为，求（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）。4.设（X，Y）的联合概率密度为：求：（1）常数k; (2) (X,Y)的分布函数；（3）求。5设(X,Y)，的联合概率密度为求（1）关于X,Y的边缘概率密度；（2）判别X与Y是否独立。6离散型随机变量（X,Y）的分布律如下图：求Y=0时，X的条件概率分布。012-10.10.30.1500.20.050200.10.17设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20z)分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。（(1)=0.8413）8已知X与Y的分布律为：（下表所求），且X和Y相互独立，求X+Y的分布律。X120.50.5 Y120.50.59设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量(X,Y)在区域口上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在处的值为_。（1998年数学一）10已知随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数。（1995年数学四）。第四章 随机变量的数学特征一、填空：1设，且，则E(x)=_，D(x)=_。2设随机变量X的概率密度为：则E(x)=_。3若Xb(3,0.4)，则Y=1-2X所服从的分布中E(X)=_, D(X)=_。4若X与Y相互独立，E(X)=0, E(Y)=1, D(X)=1,则EX(X+Y-2)=_。5设是一组两两独立的随机变量，且,令，则服从的分布是_。二、选择题1设X和Y为两个随机变量，已知E(XY)=E(X)E(Y)，则必有（ ）。（A）（B）（C）X与Y相互独立（D）X与Y相关2若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，则下列式子正确的是（ ）（A）D(Y)=0（B）D(X)D(Y)=0（C）X与不相关（D） X与Y相互独立3若，则当且仅当（ ）成立：（A） （B）（C）D(XY)=D(X)D(Y)（D）X与Y相关4X与Y相互独立，且D(X)=6,D(Y)=3，则Z=2X-3Y的D(Z)为（ ）（A）51 （B）21 （C） 3 （D）365（X，Y）的联合概率密度函数为则X与Y的相关系数= ( )。（A）-1（B） （C） （D）三、计算：1掷一骱子，X为其出现的点数，求X的E(X),D(X)。2已知（X,Y）的联合分布律：（1）判定X与Y是否独立；（2）求X与Y相关系数，并判定X与Y是否相关。XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/83设,试求：（1）X的概率密度f(x)；（2）的数学期望；（3）若，求D(Y)。4设长方形的高（以m计），已知长方形的周长（以m计）为20，求长方形面积A的数学期望和方差。5设，则a= ? E(XY)= ?6. 已知，设随机变量，求（1）E(Z),D(Z);（2）X与Z的相关系数。7设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量，则方差D(Y)=_。（2000年数学三）8设X的概率密度为：(1)求E(X). D(X)；（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关；（3）X与|X|是否相互独立？为什么？（1993年数学一）第五、六章 大数定理及中心极限定理和抽样分布一、选择题（以下各题选项中只有一个正确）1、设是一随机变量序列，a是常数，那么此序列依概率收敛于a的充要条件是（ ）（A）对任何实数（B）对任何实数（C）对任何实数（D）对先分小的2设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立。且服从同一分布，数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg。那么5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是（ ）（A）0.0787(B) 0.0778(C) 0.0797(D) 0.07983设是来自总体X的一个样本。那么样本的标准差是 （ ）（A）（B）（C）（D）4关于t分布的分位点的正确结论是( )(A)(B) (C) (D) 5设总体X的均值是，方差是，是来自X的一个样本，下列结论正确的是( )（A）（B）（C）（B）二、填空：1是来自总体X的一个样本，那么样本k阶中心矩_；2均值为u，方差是的独立同分布随机变量之和的标准化变量在n充分大时近似服从_分布；3若，且独立，则服从_分布4设是总体的样本，分别是样本均值和样本方差。则服从_三、 解答下列各题1据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率，（注：。2有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从中随机取出100根，问其中至少有这30根短于3m的概率。3一复杂系统由n个相互独立作用的部件组成。每个部件的可靠性为0.9且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作。问n至少为多在才能使系统的可靠性不低于0.95？4某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望，方差。为了估计，随机地取n只这种器件，在时刻大于t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失散，测得其寿命为以，作为的估计，为了使。问n至少为多少？5设为设一个样本，求6.已知Xt(n)求证7设总体是来自X的样本（1）求的分布律 （2）求的联合分布律 (3)求8.设在总体中抽取容量，16的样本。（1）求（2）求第七章 参数估计一、选择题（以下各题选项中只有一个正确）1设总体X的均值u及方差都存在。且有，但均未知。是来自X的样本，那么的矩估计值是( )（A）（B）（C）（D）2是来自总体X的一个样本，那么参数p的最大的然估计值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 3下列命题中不正确的是 （ ）（A）样本均值是总体均值u的无偏估计（B）样本方差是总体方差的无偏估计（C）估计量是的无偏估计（D）k阶样本矩是k阶总体矩的无偏估计4设已给是总体的样本，分别是样本均值和样本方差，当未知时，量倍水平为的量倍区间是 （ ）（A）（B）（C）（D）5是总体x的一个样本。当是的无偏估计时c的值是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题：1、在的条件下的最大似然估计值是_；2为总体的一个样本。分别是样本均值和样本方差，当未知时，u的置信水平是1-a的量倍区间是_；3连续型随机变量X的密度函数中的矩估计量是_；4是总体X的一个样本，当c=_时是的无偏估计三 解答下列各题1随机地8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.005.74.00374.001.74.00073.99874.00674.002试求总体的值及方差的短估计值，并计算样本方差2设为总体的一个样本，为相应的样本值。若总体密度函数 求的矩估计量和相应的矩估计值。3已知总体X的分布律（其中0P1），是来自总体的样本，求p的矩估计量。4设是来自总体的一个样本，相应观察值是总体X的密度函数求的最大似然估计量。5设某种电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为 自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验。设它们的失效时间依次是（1）求与C的最大似然估计 （2）求与C的矩估计6设是来自总体X的一个样本。且求的最大似然估计。7设是来自总体X的一个样本，设（1）确定C，使是的无偏估计。（2）确定C，使是的无偏估计。8设是来自均值为的指数分布总体的样本。其中未知设有估计量（1）指出中的的无偏估计量（2）在（1）中无偏估计量中说明有效性9设从均值，为差的总体中，分别抽取容量为的两独立样本表示两本平均值。试证明：对任意常数都是的无偏估计。并确定使D(y)达到最有效。10设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 6.1, 5.0;设干燥时间总体服从正态分布求的置信水平为0.95的置信区间 （ 1）若 (2)若未知。 第八章 假设检验一、 选择题：1、确定检验法则时，当样本密量固定，为犯第I类错误的概率。为犯第II类错误的概率。则下列关系正确的是_。 (A) 减小时，往往减小； （B）减小时，往增大；（C）增大时，往往增大；（D）无法确定。2、假设检验中，为原假设，则_犯第I类错误。（A）为真，拒绝；（B）不真，接受；（C）为真，接受；（D）不真，拒绝。3、设总体，为实量为n的样本均值，零假设；，备捍假设：。若已知。显著性水平为，则拒绝域为_（A）（B）（C）（D）4、对显著性检验来说，犯第I类错误的概率为p,则p_A、；B、C、D、二、 填空题：1、只对_加以控制而不考虑_的检验，为显著性检验。2、假设检验包括双边检验和单边检验。单边检验包括_。3、在t检验中，若假设：。，则拒绝域为_；若假设：，则拒绝域为_。4、设为来自总体X的样本，和分是样本均值和样本方差，已知。则假设：，时，构选统计量_，的拒绝域_。三、计算题1由经验知某味精厂袋装味精的重量，其中，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为（单位：克）：14.7, 15.1, 14.8, 15, 15.3, 14.9, 15.2, 14.6已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为？2已知某炼铁厂铁水含C量现观测了九炉铁水，其平均含C量为4.484。如果估计方差无变化。可否认为现生产的铁水平均含C量仍为4.550?（。3在某砖厂生产的批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为32.66, 30.06, 31.64, 30.22, 31.87, 31.05。设砖的抗断强度。问能否认为这批砖的抗断强度是4某厂生产的钢筋断裂强度，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值X较以往的均值M大17。设总体方差不变。问能否认为这批钢筋的强度有明显提高：（。5某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本方差，试检验灯泡的平均寿命有无变化（？。6正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为：54，68，65，77，70，64，69，72，62，71（次/分），设患者的脉搏次数，试在显著性水平下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异？7过去某工厂向A公司订购原材料。自订货日开始至交货日止，平均为49.1日。现改为向B公司订购材料，随机抽取向B公司的8次货，交货无数为：46，38，40，39，52，35，48，44问B公司交货日期是否较A公司为短？（。8且元自动包装机包装葡萄糖，规定标准每袋净重500g，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布，根据长期资料表明，标准差为15g，现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497，506，518，511，524，510，488，515，512。问包装机工作是否正常：（。（1）标准差有无变化？（2）平均重量是否符合规定标准？9某种罐头在正常情况下，按规格平均净重379g，标准差为11g，现抽查十盒，测得如下数据。（g）。370.74, 372.80, 386.43, 398.14, 369.21, 381.67, 367.90, 371.93, 386.22, 393.08。试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求（提示：检验。参考答案第一章 概率论的基本概念一. 填空题 1. 0.1; 0.5; 0.9 ; 2. 0.85 ; 3. ; 4. ; 6. 0.3; 0.5;二.选择题 1.A 2.B 3.C 4.C 5.A三. 解答题1.(1)S=1,2,3,4,5,6 A=1,3,5 (2)S=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4)(2,3,5) (2,4,5),(