十种题型搞定多面体的外接球-内切球问题

十种题型搞定多面体的外接球，内切球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D2.在正三棱锥中，分别是的中点，若，则外接球的表面积为 A B C D 3.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为A B C D 4.（2019全国1理12）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为AB CD5.设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0，0，0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1S2S3的最大值是_题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1在四面体中，若，则四面体的外接球的表面积为A BCD四点在半径为的球面上，且， ，则三棱锥的体积是_3.在三棱锥SABC中，底面ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180，ABC的三条边长分别为AB=，AC=，BC=， 则三棱锥的体积（）A B C D题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处1.在矩形中，4，3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 A. B. C. D.2.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且，则该球的体积为A B C D 3在四面体中，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. B C D4.在平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A B C D 5平行四边形ABCD中，=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BDC，且，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（ ） A B C D 6已知直角梯形ABCD，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体,其中是边长为6的等边三角形,平面,则四面体外接球的表面积为_2. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）外接球的半径为 B表面积为 C体积为 D外接球的表面积为题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥中，,直线底面所成的角是，则此时三棱锥外接球的体积是 ( )A B C D 答案。D2.(太原2016届高三上学期考试）在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为（）A B2 C3 D解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上由题设知，ABD是正三角形，则点N为ABD的中心设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ONDP，OMCD因为CDA=CDB=ADB=60，设CD与平面ABD所成角为，cos=，sin=在DMN中，DM=1，DN=由余弦定理得四边形DMON的外接圆的半径故球O的半径故选：D题型六 一般棱锥的外接球问题1.（2017宜宾模拟）已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为10解：因为O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l，球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理得cosB，sinB，由正弦定理得：，解得R，三棱锥PABC外接球的表面积为s4R210，故答案为：102.在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B. C. 4 D.3.（2017龙泉驿区一模）已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为的正四棱锥与一个高为6的正四棱柱拼接而成，则球的表面积为（）AB64C100D解：设球的半径为R，AB2x，12AC=2x，则球心到平面A1B1C1D1的距离为3，几何体是由一个侧棱长为25的正四棱锥。 S到平面ABCD的距离为(25)2-(2x)2=20-2x2，则：20-2x2+3R，又勾股定理可得R232+2x2，R5，x22球的表面积为4R2100故选：C题型七 圆锥的外接球4.（2018届四川泸州一中一诊）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D【解析】设球的半径为，由于圆锥的高为5，底面圆的半径为，所以，解得所以该球的表面积为.故选B【试题点评】本题是两个旋转体的组合，其中圆锥的轴线所在直线垂直于其底面圆，结合球与圆锥的有关性质，球心必在圆锥的高所在的直线上，应用数学建模的素养，建立“心有所依”模型，将有关信息嫁接到如图所示的中，利用勾股定理求解.题型八 棱柱的外接球.汉堡模型5.（2018届湖北襄阳一模）已知直三棱柱中，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的半径的最小值为 【解析】由于直三棱柱中，所以的外接圆的圆心分别是的中点，外接球的球心就是的中点，设直三棱柱的高为，由于侧面的面积为，则，所以，当且仅当时取等号，故直三棱柱外接球的半径的最小值为.四 球与棱柱的各棱相切问题6.已知正方体的棱长为，则与其各棱都相切的球的半径为7.已知正四面体的的棱长为，则与其各棱都相切的球的半径为8已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为_【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，则，则故答案为9.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A. B. C. D. 题型九 折叠问题10.（2018年四川省成都市二模）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，沿对角将折起使A位于新位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A B C6D25解：如图，由题意可知，ABADBDBCCD2，AC，取BD的中点E，连接EC，设球心为O，连接EO，CO，O为底面BCD的中心，连接OO，OO底面BCD，可得OOCE，且CEAEAC，即有OEAC，且直角三角形OEO中，OEC30，OE，OC， OOOEtan30，即有ROC，则ABCD的外接球的表面积为4R2故选：A11如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为ABCD解：连接交与，重合为，得到一个正四棱锥，设正方形的边长为则，由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得设外接球的球心为，半径为，可得，解得该四棱锥的外接球的表面积故选：12已知正方形的边长为2，边的中点为，现将，分别沿，折起，使得，两点重合为一点记为，则四面体外接球的表面积是ABCD解：如图，是边长为2的等边三角形，设是的中心，平面，是外接球的球心，则，则故四面体外接球的表面积是故选：13在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：如图：，取的中点，的中点，连结，平面平面，,平面，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为故选：题型十 多面体的内球问题14.正方体的棱长为，求它内切球的半径15.正四面体的棱长为，求它内切球的半径16.2018届湖南常德二模）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，侧棱底面，且，则该鳖臑的内切球的半径为 【解析】由鳖臑的性质可知，所以，故.【试题点评】求解三棱锥的内切球的半径也可以应用等体积法：先求出四个表面的面积和整个三棱锥的体积，再设出内切球的半径，建立等式，利用棱锥的体积公式可得.最值问题：17.已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积的最大值是解：设，则,的外接圆直径取的中点，则当平面时，三棱锥的体积最大此时球心在上，令，则，由，解得（舍，在递增，在递减故（8）最大，为，所以三棱锥的最大体积为18.已知是半径为2的球面上的点，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值为_.【分析】P在平面上的射影G为ABC的外心，即G为AC中点，球的球心在PG的延长线上，设PGh，则OG2h，求出h1，则AGCG，过B作BDAC于D，设ADx，则CD2x，设BDy，由BDCADB，得，从而y，则，令f（x）x4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥PABD体积的最大值解：如图，根据题意得PAPBPC2，ABC90，P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PAPBPC2，点B在AC上的射影为D，P在平面上的射影G为ABC的外心，即G为AC中点，则球的球心在PG的延长线上，设PGh，则OG2h，OB2OG2PB2PG2，即4（2h）24h2，解得h1，则AGCG，过B作BDAC于D，设ADx，则CD2x，设BDy，由BDCADB，得，解得y，则，令f（x）x4+2，则，由f（x）0，得x，当x时，f（x）max，ABD面积的最大值为，三棱锥PABD体积的最大值为故答案为：19.球的半径为，求它的内接长方体体积的最大值20.球的半径为，求它的内接圆柱体积的最大值21.球的半径为，求它的内接圆锥体积的最大值历年高考题：22.（2012新课标）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为ABCD解：根据题意作出图形：设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面，高，是边长为1的正三角形，故选：23.（2015新课标）已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A36B64C144D256解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB36，故R6，则球O的表面积为4R2144，故选：C24.（2016新课标）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是（）A4B C6D解：ABBC，AB6，BC8，AC10故三角形AB