天津卷·理科与

绝密 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：如果时间A，B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）.如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.P（AB）=P（A）P（B）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位， A B1 C D解析：，选A（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 A2 B 3 C4 D 5解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，选D（3）设函数，则是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数解析：是周期为的偶函数，选B（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A B C D解析：本小题主要考查空间想象能力、线面垂直的判定以及充要条件的判定选项A、B、D中直线可能平行（如图），故选C （5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为A 6 B2 C D解析：由椭圆第一定义知得：，所以，椭圆方程为所以，选B（6）设集合，则的取值范围是A B C或 D或解析：，所以（不可去等号，否则不包括点和5），选A（7）设函数的反函数为，则A在其定义域上是增函数且最大值为1 B在其定义域上是减函数且最小值为0 C在其定义域上是减函数且最大值为1D在其定义域上是增函数且最小值为0解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调递增，排除B、C；又的值域为的定义域，所以最小值为0选D（8）已知函数，则不等式的解集是A B C D解析：依题意得 或所以，选C（9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数令，则A B C D解析：，因为，所以，所以，选A（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A1344种 B1248种 C1056种 D960种解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法.所以此时余下的这4个数字共有种方法由乘法原理可知共有种不同的排法，选B第卷注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）的二项展开式中的系数是 40 （用数字作答）解析：，所以，系数为.（12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 24 .解析：由得，所以，表面积为.（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为 .解析：抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，圆C的方程为.（14）如图，在平行四边形中，则 解析：【方法一】令，则所以.【方法二】向量法：。（15）已知数列中，则 解析：（无穷数列的求和与极限的关系）所以.（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 解析：由已知得，单调递减，所以当时，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为.三、解答题（本题共6道大题，满分76分）（17）（本小题满分12分）已知（）求的值；（）求的值本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力满分12分【解】（）解法一：因为，所以，于是解法二：由题设，即又，解得或因为，所以（）因为，故所以（18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分【解】（）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为（）由题设和（）知可能的取值为0，1，2，3，故，的分布列为0123的数学期望（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12分【解】（）证明：在中，由题设可得，于是在矩形中，又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为.（）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以又，因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为（20）（本小题满分12分）已知函数，其中（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力满分12分【解】（）解：，由导数的几何意义得，于是由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为（）解：当时，显然（）这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解：由（）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是（21）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围【解】 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分14分（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个不等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是（22）（本小题满分14分）在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，（）求的值；（）求数列与的通项公式；（）设证明【解】 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分14分（）解：由题设有，解得由题设又有，解得（）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证，当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：（1）当时，等式成立（2）假设时等式成立，即，由题设，的两边分别减去的两边，整理得，从而这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立综上所述，等式对任何的都成立再用数学归纳法证明，（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立解法二：由题设的两