点集拓扑试卷

| | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 | | | | | | | | | | | | 5、设，则是 （ 1 ） 空间 空间 空间 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 （ ） 连通性 紧致性 正则性 可分性得分阅卷人二、简答题（每题4分，共32分）1、写出同胚映射的定义.2、什么是不连通空间?3、什么是正则空间？4、写出紧致空间的定义.5、写出可分空间的定义6、写出列紧空间的定义.共 6 页，第 2 页共 6 页，第 1 页 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分代号 学院 专业 年级 学号 姓名 备注: 试卷首页必须用统一的考试命题专用纸,第二页以后用专用纸续页。 试卷必须打印成卷字迹要工整、清楚。 各题留出答案空白。 试卷打印后应认真校对，避免卷面错误。得分阅卷人一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共18分)1、已知,下列集族中， 是上的拓扑. （ 3 ） 2、已知，拓扑,则是 （ 2 ） 3、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者 设在这个等价关系下得到的商集,则的商拓扑是 （ 1 ） 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 （ ）连通性 正则 正规规, （ ） 空间 以上都不对河北师范大学考试命题专用纸试卷代号 A卷 学院 数信学院 专业 数 学 年级 姓名 学号 |得分阅卷人四、证明题（共40分).1、 设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两 个无交的开集使得,则或者,或者. (7分)2、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.(7分)7、写出导集的定义.8、写出Urysohn引理的内容.得分阅卷人三 、判断下列各题的正误, 正确的打，错误的打，并说明理由 （每题 5分，其中判断2分，理由3 分，本题共10分） 1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 （ ）2、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间 （ ） | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 线 | | | | | | | |共 6 页，第 4 页共 6 页，第 3 页 | | 河北师范大学考试命题专用纸试卷代号 A卷 学院 数信学院 专业 数 学 年级 姓名 学号 |5、设是两个拓扑空间，是一个连续映射.如果是一个紧致空间，证明是的一个紧致子集. (7分)6、设为Hausdorff空间 ,是一个连续映射, 且证明:是的闭集 (5分).3、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一. (7分)4、设是Hausdorff空间，是连续映射.证明是的闭子集. (7分) | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 线 | | | | | | | |共 6 页，第 6 页共 6 页，第 5 页 | | 点集拓扑试题样卷2卷参考答案一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共18分)1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、简答题（每题4分，共32分）1、设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射.2、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.3、设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间.4、设是一个拓扑空间.如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个紧致空间. 5、设是一个拓扑空间，若有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间。6、设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个列紧空间.7、设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.8、设X 是一个拓扑空间，是一个闭区间. 则是一个正规空间当且仅当对于中任意两个无交的闭集和，存在一个连续映射,使得当时和当时.三 、判断下列各题的正误, 正确的打，错误的打，并说明理由（每题 5分，其中判断2分，理由3 分， 本题共10分） 1、答案: 理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的. 2、答案: 理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空间.四、证明题（共40分). 1、证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 7分2、证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是有限补空间，因此对,是 的一个开邻域，从而 ,使得. 4分于是, 由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 7分3、证明：若极限点不唯一，不妨设,其中，由于是空间，故和各自的开邻域，使得. 4分因，故存在，使得当时，；同理存在，使得当时，.令,则当时，从而,矛盾，故的极限点唯一. 7分4、证明：对于，则，从而有互不相交的开邻域和，设， 4分则是的开邻域，并且,故是开集，从而是闭集. 7分5、证明：设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意，是中的一个开集，由于,从而有：所以是的开覆盖.由于是紧致空间，所以A 有一个有限子覆盖，设为. 4分因为，从而，即是C 的一个