微积分完整(导数与微分2)ppt课件

第三章导数与微分,第一节导数的概念第二节函数和、差、积、商的求导法则第三节反函数的导数、复合函数的求导法则第四节高阶导数第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数第六节函数的微分第七节导数在经济分析中的应用,.,第一节导数的概念,一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系,.,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,取极限得,第一节导数的概念,.,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,第一节导数的概念,.,二、导数的定义,定义,第一节导数的概念,.,其它形式,即,第一节导数的概念,.,关于导数的说明：,第一节导数的概念,.,第一节导数的概念,.,步骤:,例1,解,第一节导数的概念,.,例2,解,更一般地,例如,第一节导数的概念,.,例3,解,第一节导数的概念,.,例4,解,第一节导数的概念,.,例5,解,第一节导数的概念,.,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,第一节导数的概念,.,第一节导数的概念,例6,解,.,第一节导数的概念,三、导数的几何意义,.,第一节导数的概念,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,.,例7,解,根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第一节导数的概念,.,第一节导数的概念,四、函数可导性与连续性的关系,.,另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。,例如,第一节导数的概念,.,第二节函数和、差、积、商的求导法则,一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式,.,一、和、差、积、商的求导法则,定理,第二节函数和、差、积、商的求导法则,.,证(3),证(1)、(2)略.,第二节函数和、差、积、商的求导法则,.,第二节函数和、差、积、商的求导法则,.,第二节函数和、差、积、商的求导法则,例1,解,例2,解,.,第二节函数和、差、积、商的求导法则,例3,解,同理可得,.,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,第二节函数和、差、积、商的求导法则,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,一、反函数的导数二、复合函数的求导法则,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,一、反函数的导数,定理,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,证,于是有,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,例7,解,同理可得,.,例8,解,特别地,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,.,二、复合函数的求导法则,定理,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,.,证,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,推广,例9,解,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,例10,解,例11,解,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,例12,解,例13,解,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,.,第三节反函数的导数、复合函数的求导法则,.,第四节高阶导数,一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则:,.,第四节高阶导数,一、高阶导数的定义,引例变速直线运动的加速度.,定义,.,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,第四节高阶导数,.,二、高阶导数求法举例,例1,解,第四节高阶导数,.,例2,解,第四节高阶导数,.,例3,解,第四节高阶导数,.,例4,解,同理可得,第四节高阶导数,.,莱布尼兹公式,三、高阶导数的运算法则:,第四节高阶导数,.,例6,解,第四节高阶导数,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数,.,一、隐函数的导数,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,例1,解,解得,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,例2,解,所求切线方程为,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,例3,解,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,一般地,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,例4,解,等式两边取对数得,.,例5,解,等式两边取对数得,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,三、由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,.,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,.,例6,解,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,.,所求切线方程为,第五节隐函数、参数方程确定的函数的导数,.,例7,解,.,.,例8,解,.,第六节函数的微分,一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结,.,一、微分的定义,实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.,第六节函数的微分,.,定义,第六节函数的微分,.,定理,证,(1)必要性,第六节函数的微分,.,(2)充分性,第六节函数的微分,.,例1,解,第六节函数的微分,.,第六节函数的微分,二、微分的几何意义,几何意义:(如图),M,N,T,）,Q,.,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,第六节函数的微分,.,3.复合函数的微分法则,2.函数和、差、积、商的微分法则,第六节函数的微分,.,例2,解,例3,解,第六节函数的微分,.,四、微分形式的不变性,第六节函数的微分,.,例5