判断函数组线性无关的一个充要条件

判断函数组线性无关的一个充要条件 数学系彭芬国 在常微分方程的高阶方程求解过程中 , 为判断一解能否为其通解 , 常需讨论一组解 函数的线性相关性 。 函数组的线性相关性是这样定义的 ? 定义 ? 设函数? ? ? ? , ? ? ? , ? 。 ? ? 是定义在区间 ? , 如上 , 如果存在不全为零的 常数几 ? , 久 ? , 几 ?, 使得? ? ?, 乃有? 浇 ? ? ? 久 ? ? ? ? 几 ?。 ? ? ? ? 则称 ? ? , ? ? ? , ? ? ?在区间 ?, ?上线性相关? 否则 , 就称它们在 ?, ?上线性 无关 。 一般的常微分方程教材中 , 都给出了一个函数组是某个微分方程的解时 , 此函数组 的线性相关性可由它们的伏朗斯基行列式是否为零而定 。 若? ? ? ,? ? ? , 一二 。 ? ?是 ? , 的上可微分? 一 ?次的一组 函数 , 它们的伏朗斯基行列式是指 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 产? ? ? ? ? ?, ? 留? ? ?”一?”一? ? ? ?”一? 对于一般的函数组 , 伏朗斯基行列式法有时不能适用 , 而且 , 即使是高阶微分方程 的一组解函数 , 在计算其伏朗斯基行列式时 , 要进行多次的求导运算和计算高阶行列式的 值 , 当函数 组中的各函数出现三角函数 、 指数 函数 、 对数函 ? 数 、 分式函数等的时候 , 求 高阶导数是很复杂的 。 下面 , 给出 一个能对任意函数组可用的判断线性相关性的充要条 件 , 此方法不用求导 , 只要求函数组在某些点上的值和计算这些值组成的一个数值行列 式 。 为下面的书写方便 , 采用记号 ? 若 ? ? ? , ? ? ? ? , ? 。? ? 是一 函数组 , 认 , ? , 一 ? ? 是一些常数 , 记 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一,?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ? 于是 , 我们可有这样的结论 ? 定义在 ?, 的上的几个函数? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? , 其线性相关的充要条件 是对任 意的? ?, ? , , ? 。 , ? ? ?, 乙 , ?二 ? , ? , 有 ? ? ?,? , 一? ? ? ? ?, 其线性无关的充 ? ? 要条件是 ? 存在 ?, , ? , ? ?, ? ? ?, ? ?,? , ?使? ?,? , ? ? ?年。 下面分两步来证明上面的结论 ? ? 若? ? ? , ? ? , ? 。 ?是定义在区间 ?, ?上的一组函数 , 则 ? 如果它们在 ? ,?飞 共蜂 性柑关 , 那么 , ? “币 ? ? ,卯 , ? ? 一 “ , 一“ 一 恒有 ? ? ? ? ?, ?, ? ? ? ? ? 事实上 , 若? ? ? ? , ? ? ? ? , ? 。 ? ?在 。, 的上线性相关 , 那么 , 由定义即知存在不 全为零的常数? ? , ? ?, 丸 , 使? ? , 的有 ? 沐 ?, ? ? 几 ? ? ? ? 几 ? ? ? ? ? ? 从而犷 ? 灯? 口, 幻 , ? ?,? , , , 有 ? 几 , ? ? ? , ?几 ? ? ? ? 几 ? ? , ? ? ? 沐 ?一? 几 么? ? ? ? ? ? 几 。?。 ? ? ? ? ? 几 ? ? ? ? ? ? ? 几 ? ? 。? ? ? 几 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?、 由于几 , , 再 ?, 几 。 不全为零 , 由线性 方程组理论有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ! xn(c :) 二 x 一 ( c n ) x : ( cn ) xn (C n) 而D r。) ( c:,c: , c 。 ) “ 产, ( 表示 的转置) , = , 所以D(c , , c :, en) = o 由( I )的结果 , 我们可得: ( I) 尹如 果存在 a, b中的n个数c: , c :, c。使得 D (c , , c :, cn)奔 0 那么 , x : ( t ) , x : ( t ) , x n(, )在 a, b上线性无关 。 (I) 如果定义在 a , b上的函数组x :(t), x : ( t ) , x 。 ( t )线性无关 , 那么 必有 a, b中的n个数c; , c: , cn , 使得D (c: , c:, cn) = 0 . 对 。采用归 纳法来证: (i) ,e = i时 , x : ( t )若在 a 、 b上线性无关 , 则由定义即知J e:a, 西使x ;(c;) 寺 o , 此时D(c:) 二 二: ( c : ) , 结论真 。 ( ii ) 设 摊一 l时结论真 , 则 , 时: x:(t),劣: (t) , 一x 。 ( t )在 a, b)上线性无关 , 上必也线性无关 , 由归纳假设 , 三c j任 a, 幻 , x : ( c: ) 则x :(t), x : ( t ) , x 。一, ( t )在 a , bj 1 , 2 , n一1 , 使 x:(el) x:(e:) x:(c:) xz(cn一 : ) x : ( c 。一l ) D 了n 一: ) ( c:, e :, c 。 一, 钾 0 xn一; ( e : ) x : 一: ( c: ) x。一: ( c 。一 : ) 吉首大学学报(自然科学版)一九八三年第一期 考虑 : x一(cl ) x : ( c : ) - x 一(c: ) xZ ( c 乏) x, 低 一 口 才:(c 。一 ) xl(t) xZ(t) D r。) ( cl,eZ, c 。 一 , t ) = x 。 _ ; ( c; ) x 。一x ( c : ) xn 一l ( c n一: ) x 。 一: ( t) x n ( cl ) x n ( c Z ) x。 ( C。 一l ) x n ( t ) 将刀n(C ;, C Z, C 。一, t )按最后一列展开: D n(C;, C Z, C n一1, t ) = 拌一x : (r) + 召:x : (t) + +拌nxn(r) 其中召 。 是xj(t)的代数余子式 , j 二 z , 2 , 一n , 因为群 。二 D n (C , C Z, C n一; )所以拌 。 含 0 , 从而召 , 召: , “ 。 不全为零 , 由假设x :(t),x : ( t ) , x 。 (t)线性无关 , 从而知D 。 ( C :, C Z , C n一, t ) 等 0 , 因而 , 解 。 任 a, b使D n(C:, C :, 一C n一, C 。 )年o 由数学归纳法原理知 , 对一切自然数, , 结论(I)真 . 作为(I )的结果 , 我们有 : ( I ) 产如果对 a, b中任意n个数C :, C : , C n, 都有 D(C I, C Z, C n )=0 则x :(t),x: ( t) , x n(t)在a, b上线性相关 . 综合(I ) ( I) (l)(I) 即得要证的结论是真 . 上面的结果可以使我们在实际计算中得到一些便利 , 但是 , 它不象伏朗斯基行列式 法那样有在理论上的价值 , 正如解不同类型的代数方程要用不同的方法一样 , 它只是给 我们为计算简单而提供的一种方法罢了 。 下面给出儿个利用上述结果判断函数组相关性的实例 . 例l在任何区间 a, 幻上 , 函数组: 1,t , 产 , 一t ”“都是线性无 关的. 证 明 在 a, 乡上取几个互不相同的数a: , a :, a n, 便有: 口2口3 ,人 2- -rl a a a . . . . . . . . . . 1 . .月. . . r . . . .1 .叮. . . . . . . e s J . . . . . . . 月 . . . . . . . . . . . ., , . . . . . . . , ! D( a一,a Z, ” aa 圣 a n (aj一 ai )寺0 玉毛 l乍1 1 a梦 一 a 受 一 a 琴 一 “ ”a 努 一 根据前面的结果便知上函数组在 a, 幻上线性无关 . 例2判断x :(t)= e, x: ( r ) 二e e o s t , x: ( t ) = =e s 三 nt在区间一 2汀,2二上线性无 关性 . 解取c !二 ”, C Z = , c 3 = 晋 , c l, “: , c 3 一 2”,2“ , 有 eoe兀 D( e J, e Z, C 3 ) = D(。 , ; , 晋 , =。C。 s。! c。 s二。釜一 , 。5 i n 。 。无 s in二 。;, 、 n , 浦 。贾 1 一e兀 0 0 具 = 一2 热 。 了. . 刀. r . . . . r. l 上. 1 ! 一一 根据前面的结果知x :(t) , x : ( t ) , x。(t ) , 在 从例 1和例2可见 , 选择使D (C , , C :, 一2二, 2 幻上线性无关 . C n) 年 0的C , , C : , cn的选法并不 唯 , 不过我们可以选择既能说明间题 、 又能简便计算的C ;, C Z , C n。 例3 Zt+2) , 证明 证明:在任何区间 a, b上 , x: (t) = e , x : ( t ) =尸, ( t+ l ) , x 3 ( t ) =。 (, , - x ( t ) = e (7 t 2 + g t )都线性相关 . D(t一 , 对任意的t; , r :, ts , t ) 亡l t :, t 3, t 任 a, b , 有 巴f么 e 1 ( tl+ 1) e , 2 ( t Z + 1) 一2tZ+ 2) 2 2 渗 . 户.、 2 J . 己 ( t资一Z t , + 2 ) l . . . . . . 百. . . . . . . 4 + 9 t r ) 。 : (7 t t + g t : ) 11 2+ t3+ t l + l t f 一Zr:+ 2 7 t r + gt : tZ+ 1 巴, s e 3 ( t : + 1) e 3 ( t 孟 一Z t:+ 2 ) e 3 ( 7 t 聋 +9t3) 1 t3+1 et4 e, ; ( r 一 + l) e4 ( t子一Zt;+ 2) e4 (7 t夏+92 ) 1 , 月 + , =0 1人.玉 三昌J . 己己 一Zt:+ 2 瑞 才聋一Z