全等三角形辅助线的作法

全等三角形辅助线的作法知识精讲一中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)二角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3，这种对称的图形应用得也较为普遍 三截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解三点剖析一考点：全等三角形辅助线的作法二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三易错点：1辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来题模精讲题模一：中点类例1.1.1 已知：ABC中，AD是BC边上的中线，试求AD的取值范围【答案】 【解析】 该题考查了三角形三边关系和三角形的全等ABCDE延长AD至E，使得，连结CE在ABD和ECD中1.ABDECD（SAS）AE的取值范围为例1.1.2 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证：【答案】 见解析【解析】 解法一：如图所示，延长到，使，连接BF容易证明，从而，而，故注意到，故，而公用，故，因此解法二：如图所示，取的中点，连接因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，题模二：角平分线类例1.2.1 如图，平分，平分，点在上探讨线段、和之间的等量关系探讨线段与之间的位置关系【答案】 见解析【解析】 ；证明如下：在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，例1.2.2 如图，已知，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：【答案】 见解析【解析】 延长CE，交BA的延长线于点FBD为ABC的平分线，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，例1.2.3 已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【答案】 见解析【解析】 （1）关系是：证明：AC平分MAN，又，则（直角三角形一锐角为30，则它所对直角边为斜边一半）；（2）仍成立证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN（角平分线上点到角两边距离相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，题模三：截长补短类例1.3.1 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长【答案】 见解析【解析】 如图所示，延长到使在与中，因为，所以，故因为，所以又因为，所以在与中，所以，则，所以的周长为例1.3.2 阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AEAB交BC的延长线于点E，则AB=AE，E=D.在ADC与CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若ACB+CAD=180，B=D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】 见解析【解析】 该题考查的是全等三角形的判定与性质CD与AB相等证明如下：作交BC的延长线于点E，在DAC和ECA中DACECA .随堂练习随练1.1 如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【答案】 见解析【解析】 延长到，使，连结，利用证明，又，平分，随练1.2 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【答案】 见解析【解析】 ，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，随练1.3 如图，在ABC中，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线求证：（1）；（2）【答案】 见解析【解析】 该题考察的是全等三角形（1）BQ是的角平分线，且，；（2）延长AB至M，使得，连结MP，ABC中，BQ平分，AP平分，在AMP和ACP中，AMPACP，随练1.4 五边形ABCDE中，求证：AD平分CDE【答案】 见解析【解析】 延长DE至F，使得，连接AC.，ABCAEF，ADCADF，即AD平分CDE随练1.5 如图，ABC中，AD是BC边上的高，如果，我们就称ABC为“高和三角形”请你依据这一定义回答问题：（1）若，则ABC_ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是_，并证明你的结论【答案】 （1）是（2）；见解析【解析】 该题考察的是全等三角形（1）如图，RtABC中，在BC上截取，则ABE为等边三角形，且ABE为等边三角形是高和三角形E（2）如上图，在ABC中，在DC上截取AD是BC边上的高且ABDAED（SAS）随练1.6 如图所示，是的中点，求证【答案】 见解析【解析】 如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点容易证明则，从而，而，故从而，故而故，亦即随练1.7 已知：如图，在ABC中，BEAE求证：【答案】 见解析【解析】 延长BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，自我总结 课后作业作业1 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且求证：【答案】 见解析【解析】 延长DE到F，使，连接BF，E是BC的中点，在BEF和CED中BEFCED，又，作业2 如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，求CF的长【答案】 【解析】 解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH平分，又，易得，则，设，则，解得，作业3 如图，在ABC中，AD平分BAC，求证：【答案】 见解析【解析】 在AB上截取点E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），作业4 已知：，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D（1）PC和PD的数量关系是_（2）请你证明（1）得出的结论【答案】 见解析【解析】 （1）（2）过P分别作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分线，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，作业5 已知：如图，ABC中，BD平分ABC，BC上有动点P（1）DPBC时（如图1），求证：；（2）DP平分BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？【答案】 （1）见解析（2）【解析】 （1）证明：在BP上截取，连接DM，DPBC，BD平分ABC，（2）解：，理由是：在BD上截取，连接PM，DP平分BDC，在MDP和CDP中MDPCDP（SAS），作业6 已知等腰，的平分线交于，则【答案】 见解析【解析】 如图，在上截取，连接，过作，交于，于是，又，故显然是等腰梯形，又，作业7 如图，在ABC中，D是三角形外一点，且，求证：【答案】 见解析【解析】 延长BD至E，使，连接AE，AD，ABE是等边三角形，在ACD和ADE中，ACDADE（SSS），作业8 如图1，在ABC中，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系【答案】 （1）见解析（2）（3）当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接N