数学建模之灰色预测模型

精选文库一、灰色预测模型简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。1.1模型的应用 销售额预测 交通事故次数的预测 某地区火灾发生次数的预测 灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） 基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） 网络舆情危机预警（下载的文档）1.2步骤 级比检验与判断由原始数据列计算得序列的级比为 若序列的级比 ，则可用作令人满意的GM(1,1)建模。 光滑比为 若序列满足 则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c对序列做如下平移变换 序列的级比 对原始数据作一次累加得 建立模型: （1） 构造数据矩阵B及数据向量Y 其中： 由 求得估计值= = 由微分方程（1）得生成序列预测值为 则模型还原值为 精度检验和预测 残差 相对误差 相对误差精度等级表 级比偏差 若0.2则可认为达到一般要求；若0.1，则可认为达到较高要求。 利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表 经过验证，给出相应预测预报。2、新陈代谢模型灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。2.1模型的应用 深圳货运量预测；（下载文档） 天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）； 网络舆情危机预警（下载文档）。2.2步骤 建立新陈代谢数据序列 原始数据列，用最新信息替换最初数据，即得到新陈代谢数据序列。 后续步骤同GM(1,1)模型。 用计算出的最新结果再次替换最初信息得到新序列重复步骤，以此类推，将计算结果制表并分析。3、波形预测波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。3.1 模型的应用 区域降水量预测（下载文档） 运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） 网络舆情危机预警（下载文档）3.2步骤 求出序列折线 由原始数据列得出序列X的k段折线图形为 序列X的折线为 选取等高线 令则有 如果的i段折线上有等高点，则坐标为。 等高点的计算 解方程=得到折线与的交点=，即等高点。 构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。 得出波形预测 画出波形图，并分析。4、Verhulst模型 Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S型过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。（例如B题艾滋病疗法的评价及治疗预测）4.1步骤 模型的建立 对原始数据作一次累加得 令得的均值生成序列为 则得到灰色Verhulst模型为 灰色Verhulst模型的白化方程为 （2） 参数求解 构造数据矩阵B及数据向量Y 由 求得估计值= = 解微分方程（2）得灰色Verhulst模型的时间序列响应为 通过累减还原得 精度检验和预测 同GM(1,1)模型。 例题：某地区年平均降雨量数据如表1。规定= 320，并认为为旱灾。预测下一次发生的时间。表1 某地区年平均降雨量数据 解：模型的建立：列出原始数据列，确定在的条件下的下限灾变数列与其相对应的时刻数列。计算光滑比判断序列是否满足满足对数列做1次累加，得。建立GM(1，1)模型。 （1）构造数据矩阵B及数据向量Y 其中： 由 求得估计值，。 由微分方程（1）得生成序列预测值为 则模型还原值为预测到第6个和第7个数据。模型的求解 （1）根据题得：原始数据列(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)因为当时的为异常值，可得下限灾变数列为(320,310,300,313.8,318.5) 与其相对应的时刻数列为： = (3,8,10,14,17) 利用matlab计算得出序列光滑。 （2）对数列做1次累加，得(3,