数学 二综合测 文

专题二综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是()A有10个顶点B体对角线AC1垂直于截面C截面平行于平面CB1D1D此多面体的表面积为a2解析：此多面体的表面积S6a23aaaaa2a2a2.故选D.答案：D2(2011福建宁德二模)下图是一个多面体的三视图，则其全面积为()A.B.6C.6D.4解析：由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为S3()22()2sin606.故选C.答案：C3.(2011江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A22B12C424 D432解析：由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S41222283432.故选D.答案：D4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为()A7，3 B8，3C7， D8，解析：由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其全面积为S2(12)112121217，体积为V(12)11.故选C.答案：C5(2011江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为()A. B.C. D8解析：由题意，球的半径为R，故其体积V()3，选A.答案：A6(2011福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是()A. B.C. D.解析：因为BCB1C1，故EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角，在EB1C1中，由余弦定理可得结果，选C.答案：C7(2011泰安市高三质检)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：连接BD，取BD中点O，连接AO则OESD.OEA即为AE与SD所成的角令侧棱长为2，则OE1，AO，AE因为AE2AO2OE2，所以AOE是直角三角形，故cosAEO.答案：C8(2011安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中正确的命题是()A BC D解析：由定理可知正确，中m与的位置关系不确定，中可能m.故选C.答案：C9(2011宁夏模拟)如图，正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AFED的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直解析：由题意，DE平面AGA，A、B、C正确故选D.答案：D10(2011南昌一模)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DMA1M a，A1Da，SA1DMa a2，连接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa，a2ha2a，所以ha，即点C到平面A1DM的距离为a，选A.答案：A11(2011山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc解析：写出逆命题，可知B中b与不一定垂直选B.答案：B12(2011山东潍坊模拟)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为()A2 B2C4 D2解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得，n1，a，b，所以(a21)(b21)6a2b28，所以(ab)2a22abb282ab8a2b216ab4，当且仅当ab2时取等号选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13(2011广东珠海二模)一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_解析：由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V(12)222.答案：214(2011上海春招)有一多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB与CD所成的角的大小是_解析：连接AD，则AD綊2BC，故延长AB，DC必相交，设交点为E，ADE是等边三角形，故AB与CD所成的角的大小为60.答案：6015.(2011江西赣州联考)三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，、正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，正确答案：16.(2011南京一模)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BDC1D，BC1，由BC1D是面积为6的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为V8sin6048.答案：8三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)求三棱锥EPAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.解：(1)三棱锥EPAD的体积VPASADEPA.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，PC平面PAC，EF平面PAC.(3)证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，BEPA，又BEAB，ABPAA，AB，PA平面PAB，BE平面PAB.又AF平面PAB，AFBE.又PAAB1，点F是PB的中点，PBAF，又PBBEB，PB，BE平面PBE，AF平面PBE.PE平面PBE，AFPE.18(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图(1)证明：平面EAC平面PBD；(2)试确定点E的位置，使得四棱锥的体积被平面EAC分成31两部分解：(1)证明：过点B作BGAD于点G，由于平面PAD平面ABCD，由面面垂直的性质定理可知BG平面PAD，又PD平面PAD，故PDBG；同理，过点B作BHCD于点H，则PDBH.又BG平面ABCD，BH平面ABCD，BGBHB，PD平面ABCD，PDAC，又BDAC，故AC平面PBD，又AC平面EAC，平面EAC平面PBD.(2)若四棱锥的体积被平面EAC分成31两部分，则三棱锥EABC的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥EABC的高为h，底面ABCD的面积为S，则ShSPD，由此得hPD，故此时E为PB的中点19(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，AE平面BCD，BCCD，BCCD，ACBD，E是BD的中点(1)求证：ACBD；(2)求直线AC与平面BCD所成的角解：如图，连接CE.(1)证明：在BCD中，BCCD，E是BD的中点，CEBD.AE平面BCD，BD平面BCD，AEBD，CEAEE，BD平面ACE，AC平面ACE，ACBD.(2)AE平面BCD，CE平面BCD，AECE，ACE就是直线AC与平面BCD所成的角BCCD，E是BD的中点，CEBD，ACBD，CEAC，在RtACE中，易知ACE60.即直线AC与平面BCD所成的角是60.20(本小题满分12分)(2011浙江)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：方法一：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)(4,5,0)，(8,0,0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可得n1由即得可取n2(5,4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3综上所述，存在点M符合题意，AM3.方法二：(1)证明：由ABAC，D是BC的中点，得ADBC.又PO平面ABC，得POBC.因为POADO，所以BC平面PAD.故BCPA.(2)如图，在平面PAB内作BMPA于M，连接CM.由(1)中知APBC，得AP平面BMC.又AP平面APC，所以平面BMC平面APC.在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中， PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2DB236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cosBPA，从而PMPBcosBPA2，所以AMPAPM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.21(本小题满分12分)(2011辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD. (1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即PQDQ，PQDC.故DQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.22.(本小题满分14分)(2011福建)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.()若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；()在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由解：解法一：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD，(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt, 则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)D(0,4t,0)，(1，1,0)，(0,4t，t)()设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由n，n，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos60，即.解得t或t4(舍去，因为AD4t0)，所以AB.()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等设G(0，m,0)(其中0m4t)则(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m； 由|，得(4tm)2m2t2. 由、消去t，化简得m23m40. 由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等解法二：(1)同解法一：(2)()以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD，在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t.所以E(0,3t,0)，C(t,3t,0)，D(0,4t,0)(1,1,0)，(0,4t，t)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由