圆锥曲线中心到焦点弦的张角新课标人教

圆锥曲线中心到焦点弦的张角http:/www.DearEDU.com浙江省宁波市北仑中学（315800）吴文尧 文1给出了椭圆、双曲线中心到焦点弦的张角为直角存在的充要条件；笔者阅后颇受启发.本文介绍有关更一般的结论,即给出椭圆、双曲线的中心到焦点弦的张角及抛物线的顶点到焦点弦的张角的取值范围；由此不难得到圆锥曲线的中心到焦点弦的张角为一个任意给定角存在的充要条件.本文约定：如果过圆锥曲线焦点的直线与该圆锥曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做圆锥曲线的焦点弦；垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦叫做圆锥曲线的通径；两个端点在双曲线的同一支上的双曲线的焦点弦叫做双曲线的同支焦点弦，两个端点不在双曲线的同一支上的双曲线的焦点弦叫做双曲线的异支焦点弦；对于点P和线段AB，APB叫做点P到线段AB的张角.预备定理：过点的直线交圆锥曲线:于两点,且,O为坐标原点,直线OB到直线OA的角为；则。证明：把直线方程代入曲线方程可得 所以， 因此 所以 于是 所以定理1：设椭圆的中心0到椭圆的通径的张角为（其中），则椭圆中心O到椭圆的焦点弦的张角的取值范围为.证明:(如图)不妨设椭圆的焦点弦AB过右焦点F, 直线AB的方程为: , 令, 则且,由预备定理可知: ,令 则，而 所以是上的减函数；故 即时 即AB为椭圆的通径时，取最大值。 当时，AB和长轴重合时，AOB= 所以的取值范围为。推论1：设AB为椭圆的焦点弦，且中心O对AB的张角为.则:即 时： 满足条件的焦点弦AB不存在；即 时： 满足条件的焦点弦AB有且仅有二条，(AB恰为椭圆的两条通径)此时；即 时： 满足条件的焦点弦AB有且仅有四条. 此时 。定理2：设双曲线的中心0到双曲线的通径张角为 （其中），双曲线中心0到双曲线的同支焦点弦的张角记为.则：时：的取值范围为，时：（）时： （）时： 证明：（如图）不妨设双曲线的焦点弦AB过右焦点F, 直线AB的方程为: , 令, 则,因AB和双曲线的右支相交于两点,故，即 由预备定理可知: ,令，则由 可得。 所以。（其中）时：是区间上的增函数，即 所以的取值范围为时：由解得（A）时：仍是区间上的增函数，同理可得 的取值范围为； （B）时：时取最小值此时的最大值为（）时： （）时：。推论2：设AB为双曲线的同支焦点弦，且双曲的中心O对AB的张角为.则:当或，即或时：满足条件的焦点弦AB不存在；当即 时：满足条件的焦点弦AB有且仅有两条(AB恰为双曲线的两条通径)此时； 当且即 时：满足条件的焦弦AB有且仅有四条. 此时 。定理3：设双曲线的中心0到双曲线的异支焦弦的张角为；则的取值范围为。证明：（如图）不妨设双曲线的焦点弦AB过右焦点F, 直线AB的方程为: , 令,； 则,因AB和双曲线的左、右支各有一个交点，故，所以即，由预备定理可知: ,令，则由 可得 所以 （其中）时：是上的减函数.时:因为恒成立； 所以仍然是上的减函数. 由可知的值域为即，当AB和实轴重合时：. 所以的取值范围为.推论3：设AB为双曲线的异支焦点弦，且双曲线的中心O对AB的张角为.则:当即时：满足条件的焦点弦AB不存在.当即时: 满足条件的焦弦AB有且仅有四条. 此时 。定理4：抛物线的顶点到抛物线的焦点弦的张角的取值范围为:。证明：设抛物线的方程为，则其焦点为F，设抛物线的焦点弦AB的方程为： ；AOB= 把AB的方程：代入抛物线的方程得 所以 所以=于是 = 所以 因此即AB为抛物线的通径时：=， 所以的取值范围为