黑龙江海林高中数学第二章圆锥曲线与方程单元综合测新人教A选修11

第二章 圆锥曲线与方程单元综合测试时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1椭圆x24y21的离心率为()A. B.C. D.解析：a1，b，c，e，故选A.答案：A2(2010新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：F(3,0)，AB的中点N(12，15)，kAB1.又F(3,0)，可设双曲线的方程为1，易知a2b29再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有11由可得，即kAB1.*又12，15，*式可化为()1，由和可知b25，a24，双曲线的方程为1，故选择B.答案：B3双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：a24，b2k，c24k.e(1,2)，(1,4)，k(12,0)答案：B4若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：设M(2,0)，由题设可知，把直线x1向左平移一个单位即为直线x2，则点P到直线x2的距离等于|PM|，所以动点P的轨迹为抛物线，故选D.答案：D5已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段解析：依题意知|PF1|PF2|F1F2|2，作图可知点P的轨迹为线段，故选D.答案：D6(2011课标全国高考)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B.C2 D3解析：不妨设双曲线C为1(a0，b0)，并设l过F2(c,0)且垂直于x轴，则易求得|AB|，22a，b22a2，离心率e，故选B.答案：B7过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在解析：由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有且仅有两条答案：B8已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y40 Dx2y80解析：设l与椭圆的两交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则得，所以.故方程为y2(x4)，即x2y80.答案：D9过椭圆1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率e为()A. B.C. D.解析：A(，1)，B(，1)，设双曲线为1(a0，b0)，渐近线方程为yx，因为A、B在渐近线上，所以1，e.答案：C10双曲线1(mn0)有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A3 B2C1 D以上都不对解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，故双曲线1中m0，n0，且mnc21.答案：C11设F1，F2是双曲线1(a0，b0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2C(1， D(1,3解析：|PF2|4a4a4a8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a时取等号这时|PF1|4a.由|PF1|PF2|F1F2|，得6a2c，即e3，得e(1,3，故选D.答案：D第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13若双曲线的渐近线方程为yx，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是_解析：由双曲线的渐近线方程为yx，知，它的一个焦点是(，0)，知a2b210，因此a3，b1，故双曲线的方程是y21.答案：y2114椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a236，因为|PF1|4，所以|PF2|2.在PF1F2中，cosF1PF2.F1PF2120.答案：212015已知F1、F2是椭圆1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是_解析：由题意知|MP|F1P|，|PF1|PF2|MF2|2a.点M到点F2的距离为定值2a.点M的轨迹是以点F2为圆心，以2a为半径的圆，其方程为(x)2y24a2.答案：(x)2y24a216(2011浙江高考)设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由F1(，0)，F2(， 0)且5得x2(x16)，y2y1.又A、B两点在椭圆上，故有消去y1得24，有x10，从而y11，故点A的坐标为(0,1)和(0，1)答案：(0，1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程解：由椭圆方程1，知长半轴a13，短半轴b12，焦距的一半c1，焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.18(10分)(2010天津高考)已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值解：(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0)设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1.从而y1.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(，)以下分两种情况：当k0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k.所以y0.综上，y02或y0.19(12分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值证明：(1)抛物线y22px的焦点为F，设直线AB的方程为yk(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根与系数的关系，得x1x2(定值)当ABx轴时，x1x2，x1x2，也成立(2)由抛物线的定义，知|FA|x1，|FB|x2.(定值)当ABx轴时，|FA|FB|p，上式仍成立20(12分)已知A(，0)、B(，0)两点，动点P在y轴上的射影为Q，22.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设直线m过点A，斜率为k，当0k1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q(0，y)，(x,0)，(x，y)，(x，y)，x22y2.22，x22y22x2，即动点P的轨迹方程为y2x22.(2)设直线m：yk(x)(0kb0)，抛物线C2：x2byb2.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)设A(0，b)，Q(3，b)，又M， N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B(0，b)，且QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程解：(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(c,0)，F2(c,0)，可得c2b2.由a2b2c22c2，有，所以椭圆C1的离心率e.(2)由题设可知M，N关于y轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，(x10)，则由AMN的垂心为B，有0，所以x(y1b)(y1b)0由于点N(x1，y1)在C2上，故有xby1b2由得y1，或y1b(舍去)，所以x1b，故M(b，)，N(b，)，所以QMN的重心为(，)，由重心在C2上得：3b2，所以b2，M(，)，N(，)，又因为M，N在C1上，所以1，得a2.所以椭圆C1的方程为：1，抛物线C2的方程为：x22y4.22(12分)(2011江西高考)P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意又有，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20，设A