高三数学二轮复习 必考问题专项突破10 数列求和 理

必考问题10数列求和1(2012全国)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.答案： A设数列an的公差为d，则a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以S10011，故选A.2(2011全国)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k()A8 B7 C6 D5答案：Dan是等差数列，a11，d2，an2n1.由已知得Sk2Skak2ak12(k2)2(k1)24k424，所以k5，故选D.3(2010福建)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9答案：Aan是等差数列，a4a62a56，即a53，d2得an是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小a61，a71，当n6时，Sn取最小故选A.4(2011江西)已知数列an的前n项和Sn满足SnSmSnm，且a11，那么a10_.解析SnSmSnm，且a11，S11，可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1，即当n1时，an11，a101.答案1本部分是高考重点考查的内容，题型有选择题、填空题和解答题对于数列的通项问题，求递推数列(以递推形式给出的数列)的通项是一个难点，而数列的求和问题多从数列的通项入手，并与不等式证明或求解结合，有一定难度(1)牢固掌握等差数列和等比数列的递推公式和通项公式，以一阶线性的递推公式求通项的六种方法(观察法、构造法、猜归法、累加法、累积法、待定系数法)为依托，掌握常见的递推数列的解题方法对于既非等差又非等比的数列要综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法进行研究，要善于将其转化为特殊数列，这是一种非常重要的学习能力(2)对于数列求和部分的复习要注意以下几点：熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用，这是数列求和的基础；掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法，特别要掌握好裂项与错位相减求和的方法，这是高考考查的重点；掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法，如求数列前n项和的最值，研究前n项和所满足的不等式等.必备知识求通项公式的方法(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an1anf(n)，累积法，如f(n)；(5)转化法：an1AanB(A0，且A1)常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，123n，122232n2.常用裂项方法(1)；(2).必备方法1利用转化，解决递推公式为Sn与an的关系式：数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an通过纽带：anSnSn1(n2)，根据题目求解特点，消掉一个an或Sn.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解如需消掉Sn，可以利用已知递推式，把n换成(n1)得到新递推式，两式相减即可若要消掉an，只需把anSnSn1代入递推式即可不论哪种形式，需要注意公式anSnSn1成立的条件n2.2裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成anbn1bn或者anbnbn1或者anbn2bn等，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件3错位相减法适用于数列由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cnanbn，其中an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(q1)的等比数列，则qcnqanbnanbn1，此时cn1qcn(an1an)bn1dbn1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的.数列的递推关系一直是高考“久考不衰”的考点，具有题型新颖、方法灵活等特点，求通项的常用方法有：定义法、公式法、累加法、累乘法、构造转化法等【例1】 已知数列an的首项a1，且an1，n1，2，.(1)证明：数列1是等比数列；(2)令bn1，试求数列nbn的前n项和Sn.审题视点 听课记录审题视点 对于第(1)问，由条件利用等比数列的定义即可证明；对于第(2)问，求数列nbn的前n项和Sn，只需利用错位相减法即可(1)证明由已知，得，n1,2，11，n1,2，.数列是以为公比，为首项的等比数列(2)解由bn1(n1)，得Sn1b12b23b3(n1)bn1nbn123(n1)n.Sn123(n1)n.Snnn.Sn1n. 对于由数列的递推关系式求数列通项an的问题，一般有以下几种题型：(1)类型an1cand(c0,1)，可以通过待定系数法设an1c(an)，求出后，化为等比数列求通项；(2)类型an1anf(n)与an1f(n)an，可以分别通过累加、累乘求得通项；(3)类型an1canrn(c0，r0)，可以通过两边除以rn1，得，于是转化为类型(1)求解【突破训练1】 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)证明：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立(1)证明由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)解由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以，数列an的前n项和Sn.(3)证明对任意的nN*，Sn14Sn4(3n2n4)0，所以不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立裂项法求和是近几年高考的热点，试题设计年年有变、有创新，但变的仅仅是试题的外壳，有效地转化、化归问题是解题的关键，常与不等式综合命制解答题【例2】 已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有n(nN*)都成立的最小正整数m.审题视点 听课记录审题视点 (1)由f(x)6x2可求f(x)，则可得Sn与n的关系式，再由anSnSn1(n2)求an.(2)由裂项求和求Tn，再由单调性求Tn的最大值解(1)设函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb，由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.当n1时，a1S1312211，所以，an6n5(nN*)(2)由(1)知bn，故Tnb1b2bn11.因此，要使1(nN*)成立，则m需满足即可，则m10，所以满足要求的最小正整数m为10. 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【突破训练2】 已知数列an是首项a1的等比数列，其前n项和Sn中S3.(1)求数列an的通项公式；(解(1)若q1，则S3不符合题意，q1.当q1时，由得q.ann1n1.(2)bnlog|an|logn1，Tn.错位相减法求和作为求和的一种方法在近几年高考试题中经常出现，复习时要熟练掌握错位相减法求和的特点【例3】 (2012淄博一模)已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列an1的前n项和Sn.审题视点 听课记录审题视点 (1)作差：后，把an2an12n1代入；(2)求出an1，利用错位相减法求和(1)证明设bn，b12.bnbn1(an2an1)1(2n1)11.所以数列为首项是2，公差是1的等差数列(2)解由(1)知，(n1)1，an1(n1)2n.Sn221322n2n1(n1)2n，2Sn222323n2n(n1)2n1.，得Sn4(22232n)(n1)2n1，Sn44(2n11)(n1)2n1，Snn2n1. 错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题所谓“错位”，就是要找“同类项”相减，要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数【突破训练3】 (2012天津)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明：Tn122an10bn(nN*)(1)解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明法一由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*.法二当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；证明：假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，则当nk1时有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由和，可知对任意nN*，Tn122an10bn成立数列综合题中的转化与推理数列是一个既有相对独立性，又与其他知识易交汇的知识点，命题者为体现考查思维的综合性与创新性，经常让数列与一些其他知识交汇，有效地考查考生对数学思想与方法的深刻理解，以及考生的数学潜能与思维品质因此，要利用转化与推理将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，降低问题难度【示例】 (2012湖南)已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列满分解答(1)对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为1，公差为4的等差数列于是an1(n1)44n3.(5分)(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q，所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列(8分)充分性：若对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以q.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列(12分)老师叮咛：本题看似新颖，但揭开面纱却很平常.它很好地考查了考生的应试心理和推理论证的能力，用到的知识却很简单，失去信心是本题失分的主要原因.第(1)问根据B(n)A(n)C(n)B(n)即可轻松解决；第(2)问需分充分性和必要性分别证明，其依据完全是非常简单的等比数列的定义，其关键是要有较好的推理论证能力.【试一试】 (2012山东)在等差数列an中，a3a4a584