六 IIR数字滤波器的理论与设计PPT课件

.,1,第六章IIR数字滤波器的原理与设计,宜春学院理工学院,.,2,内容提要,6.1数字滤波器的设计概述6.2模拟滤波特性的逼近法6.3模拟滤波器的变换6.4脉冲响应不变法6.5双线性变换法6.6数字滤波器的变换*6.7IIR数字滤波器的计算机辅助设计方法,.,3,学习目标,1.掌握IIR数字滤波器设计的基本概念及基本设计方法。2.掌握模拟滤波器的数字仿真法3.掌握从模拟滤波器设计数字滤波器的两种方法脉冲响应不变法和双线性变换法。4.熟悉模拟滤波特性逼近的几种方法。5.熟悉数字滤波器的变换。,.,4,6.0引言,1、数字滤波器概念：输入与输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件.优点：高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能,.,5,说明：,1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。2）数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。3）数字滤波器线性时不变系统，输入输出均为数字信号,.,6,2分类,1）经典滤波器从功能上分可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Lowpassanalog/digitalfilter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpassanalog/digitalfilter高通滤波器(HPAF/HPDF):Highpassanalog/digitalfilter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstopanalog/digitalfilter全通滤波器(ABAF/ASDF):Allpassanalog/digitalfilter即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。,.,7,模拟滤波器的理想幅频特性,图6.1模拟滤波器,.,8,数字滤波器的理想幅频特性,.,9,2）现代滤波器,它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器。,.,10,3）根据单位脉冲响应h(n)的时宽，即列长分为：,IIR：InfiniteimpulseResponse,即无限长度单位脉冲响应滤波器FIR：DefiniteimpulseResponse,即有限长度单位脉冲响应滤波器,.,11,4）根据实现的方法分,递归型，IIR一般为递归型非递归型，一般FIR除频率取样设计方法外,.,12,3、数字滤波器的技术要求,选频滤波器的频率响应：相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况；幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况。,.,13,：通带截止频率,：阻带截止频率,：通带容限,：阻带容限,阻带：,过渡带：,通带：,DF的功能要求,6.3,.,14,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,其中：,当时，,称为3dB通带截止频率,.,15,*4、表征滤波器频率响应的特征参量,幅度平方响应,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的,H(z)的极点：单位圆内的极点,图6.4极点分布,.,16,相位响应,相位响应：,.,17,群延迟响应,.,18,6.1IIR数字滤波器的设计概述,6.1.1数字滤波器的设计过程（1）根据实际需要确定滤波器的性能要求(功能、截止频率、阻带衰减、通带波动等）确定滤波器相关参数；（2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能要求（IIRandFIR)；（3）用一个有限精度的运算(算法结构、字长及有效的数字处理方法等的选择）去实现这个系统函数。（4）实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法。,.,19,6.1.2IIR数字滤波器的设计方法,IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可以表示为,系统函数的设计就是要确定系数ai、bi或零、极点ci、di，以使滤波器满足给定的性能要求。确保系统稳定，极点应位于z平面的单位圆内（或与零点共同存在于单位圆上）。这种设计一般有以下3种方法。,.,20,1.零、极点位置累试法,概念：一些简单滤波器的设计中，依据系统函数在单位圆内的极点处出现峰值，而在零点处出现谷值的特性来设计零、极点，以达到简单的性能要求。累试：就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零、极点的位置来达到要求。特点：思路简单，也只适用于简单滤波器的设计中。,.,21,2.用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器,现状：模拟网络的逼近和综合理论已经发展的相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，有严格的设计公式及参数表。特点：数字滤波器（DF）与模拟滤波器（AF）在许多场合都有相同的功能。从AF设计DF：,.,22,*3.用优化技术设计,概念：IIR设计中子网络的级联顺序，零、极点对的搭配也事任意的，不同的方案总的系统函数都相同，但系统特性对零、极点位置变化的灵敏度不同，因此需要选择一组最佳零、极点搭配及最好级联次序。步骤：（1）选择一种最优化准则，如最小均方误差、最大误差最小准则等等；（2）赋予所设计参数一组初值，计算这组参数下的H(z)特性及其误差；（3）不断改变这组参数，重复（2），直到误差最小，则得到一组最优参数。特点：要进行大量迭代运算，必须借助计算机辅助设计（即CAD）来完成。,.,23,6.2模拟低通滤波特性的逼近,这里主要讨论如何设计模拟滤波器的系统函数，使其逼近所需的滤波器的性能要求。实际滤波器都不可能达到理想状态，故设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性，通常采用的典型的逼近有Butterworth逼近法、Chebyshev和Cauer逼近三种逼近方法。B型滤波器和C型滤波器都是全极点滤波器，而Cauer滤波器不是，它们在滤波特性、设计方法及稳定性方面都不同，C型滤波器在整个频带内都介于另外两种滤波器之间。在实际中，应根据实际需要选择合适的滤波器逼近法，使之满足特性的需求。,.,24,6.2.1Butterworth低通滤波特性的逼近对于Butterworth滤波器有：（6.4）满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B型滤波器的阶次，为截止频率。,.,25,B型滤波特性1.最平坦函数B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在=0附近以及很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,2.3db带宽由(6.4)式可知，当=c时，=，而因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。,.,26,3.N的影响在通带内，01，故N越大，随增大而下降越快。,图6.1Butterworth低通滤波器的平方幅度特性,图6.2阶次N对B型特性的影响,.,27,由B型滤波器的极点得到Ha(s),由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有：，令s=j,则有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6),.,28,p=0,1,2N-1,此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sp用下式表示：,三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。Ha(s)的表示式为,.,29,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,设N=3，极点有6个，它们分别为,.,30,这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平面的N个极点sk（k=0,1,N-1)分给Ha(s)，这样，右半平面的N个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：(6.8),这个式子中的常数是为了使(6.5)式满足而加入的。这N个极点s0、s1、sN-1在s平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当N为奇数时,有一个在实轴上(为-)。,.,31,一般情况下的B型低通滤波器,图6.3一般情况下低通滤波器的设计指标,角频率标称化(归一化）.1为基准频率，则标称化角频率为：=/1通带边界的标称化角频率为1=1，并且在通带有01，在过渡带和阻带则有1。,.,32,（6.4）式可以写成：(6.10)当=1=1时，上式为：(6.11)令(6.12)则由(6.11)式可得：,当时有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再将其代入(6.12)式，即可求得。,.,33,6.2.2Chebyshev低通滤波特性的逼近Chebyshev滤波特性分为两个类型。Chebyshev型在通带是等波纹波动的，在过渡带和阻带为单调波形；Chebyshev型则在通带和过渡带为单调波形，而在阻带是等波纹波动的。这里讨论的是Chebyshev型低通滤波特性。,.,34,Chebyshev响应就具有这样的特点，具有这种特性的滤波器又叫做C型滤波器。C型滤波器的平方幅度特性为：(6.16)其中为标称化的角频率，基准频率为通带边界频率，即=1；N为滤波器阶数，它可以是0和正整数；是N阶Chebyshev多项式,为一常数。,.,35,Chebyshev多项式C型滤波器的平方幅度特性主要由Chebyshev多项式CN()决定其中,.,36,1.关于的情形，令，则cos=,而cos(-)=-cos=-,故有：,.,37,2.关于分界点与都在分段点|=1处连续。,在分界点1处是连续的，在-1处也是连续的,.,38,3.CN()是一个多项式当时，若令，则。而（6.25）(6.26),于是可得到下面的递推公式：,.,39,以N=8为例，列出切比雪夫多项式：,切比雪夫多项式的阶次N正好等于多项式的最高幂次，而最高次项的系数即为；并且当N为偶数时，多项式CN()只含的偶次方项，而当N为奇数时，CN()只含的奇次方项。,.,40,4.的零点分布当|1即在通带时，根据余弦函数的性质可以证明，共有N个零点；而当|1，由于实际上是一指数函数，故不再有零点，而且|随|增大而单调上升，N越大上升越快。,5.关于CN(0),.,41,C型低通滤波器的平方幅度特性1.通带特性在通带即|1范围内，在1与之间等波纹波动，波动的幅度为：(6.32),通带内的最小值的分贝损耗：,RWdb是描写C型滤波器特性的一个参数，若RWdb=0.5(对应于=0.3493),我们就叫此滤波器为0.5db滤波器，余此类推。,.,42,2.边界特性由于=1，因此在通带边界频率1=1处，无论N为何值，总有：（6.34）当=0，由(6.16)式和(6.31)式可以得到：(6.35),.,43,3.过渡带和阻带特性以及3db带宽当1，即在过渡带和阻带，随增大而单调下降，N越大下降越快。3db带宽c并不是C型滤波器的重要参数，它由N和决定，有：(6.36),通带的总体特性优于B型滤波器,.,44,图6.2.5切比雪夫型滤波器幅频特性,.,45,4和N的影响C型滤波器的特性参数是和N。增大会使阻带衰减增大，从而改善阻带特性；但同时通带波动幅度增大，通带特性变坏。加大N可使阻带衰减增大，过渡带变陡；而N的大小只影响通带波动的快慢，并不影响通带波动的幅度，因此应该说不影响通带特性。,.,46,根据滤波器所要求的指标确定参数和N下面举例来说明如何确定C型滤波器的参数和N。例6.1一个低通滤波器的指标如图6.5所示，为标称化的角频率。若用C型滤波特性逼近，求其参数和N。,图6.5一个低通滤波器的指标,.,47,解：由于通带波动大小只与有关，故应先根据通带要求确定。由,可得到,=0.48432。再根据阻带要求确定N，由所给指标有：故可得(6.37),.,48,根据递推公式因,故有已经看到，只要N=3，便可满足(6.37)式。因此所设计的C型滤波器的平方幅度响应为,.,49,C型低通滤波器的极点和系统函数由（6.3）式和(6.16)式可得：（6.38）用s代替j，便有：(6.39),.,50,将左半平面的N个极点分给，设这N个极点为k=1,2,N(6.43)则有(6.44),.,51,故的极点是方程的根。可以证明，这些根共有2N个，它们成复共轭对出现，而且关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上。这2N个极点实际上分布在一个椭圆上，椭圆的短轴半径为a，长轴半径为b，这里：(6.41)而(6.42),.,52,由于的最高次幂的系数为，因此(6.39)式中Ha(s)的分母多项式的最高次项的系数应为，于是有：(6.46)椭圆上的这2N个极点还可以由作图法确定，如图6.6所示，图中是N=3的情况。,图6.6C型低通滤波器的极点分布,.,53,6.2.3Cauer低通滤波特性简介,（6.47）这里为雅可比椭圆函数，N为滤波器阶次。此滤波器幅度特性主要由雅可比椭圆函数决定，故又叫椭圆（函数）滤波器。这种滤波器的系统函数的分子分母都是s的多项式，其一般形式为：,.,54,N为偶数：N为奇数：由于分子也是s的多项式，因此Ha(s)在s平面的有限远处具有零点。Cauer滤波器在通带和阻带都有等波纹幅度特性，如图6.7所示。,.,55,6.2.4三种滤波器的比较B型滤波器和C型滤波器都是全极点滤波器，而cauer滤波器不是。这三种滤波器无论在滤波特性、设计方法以及稳定性方面都是不同的，总的来说，C型滤波器在各个方面都介于B型滤波器和Cauer滤波器之间。,.,56,1.关于滤波器的幅度频率特性:Butterworth滤波器在整个频带内都是单调下降的；Chebyshev型滤波器在通带内等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；Cauer滤波器除了过渡带外，在通带和阻带都等波纹振动。,2.关于过渡带的陡度:Cauer滤波器最陡，Butterworth滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，Cauer为最低，Butterworth为最高。3.关于设计的复杂性：B型滤波器最简单，Cauer滤波器最复杂。,.,57,4关于滤波器频率特性对于参数变化的灵敏度：按照对滤波器幅频特性的要求来设计出的系统函数Ha(s)在实现时，各个系数是由电子元件的数值来产生的。而电子元件的精度是有限的，因此所产生的各个系数与所设计的Ha(s)的系数之间就会有误差，,.,58,6.2.5滤波器图表法设计模拟滤波器的理论和设计方法都已经相当成熟，并且有许多现成的图表可以利用，使设计工作非常方便。下面介绍两种与滤波特性的逼近有关的图表设计方法。用列线图求滤波器的阶数N,.,59,将幅频响应特性用衰减(db)来表示。（6.49）假设所要设计的低通滤波器的指标如图6.8所示，表示通带所允许的最大衰减，表示阻带所要求的最小衰减，所设计的滤波器的衰减特性曲线不应落入图中阴影部分。,.,60,图6.9用列线图求滤波器的阶数N1,.,61,查表求得滤波器的系统函数Ha(s)求得所要求的滤波器的阶数N后，只需查表就可以得到它的系统函数。对于B型滤波器，系统函数Ha(s)的分母多项式为(6.50)(6.50)式中的系数是以3db带宽为基准频率时的值，即此时=1，因此Ha(s)的分子为1。,.,62,.,63,对于C型滤波器，根据不同的RWdb（或有多个不同的表格，根据所求得的N在相应的表格中可以查到Ha(S)的分母多项式Q(S)的各系数，Q(s)的表达式仍如(6.50)式所示。注意，在C型滤波器的情形，是以通带边界频率1为基准频率的，即1=1，而Ha(s)的分子则为。,.,64,.,65,6.4脉冲响应不变法,在给定了模拟滤波器的系统函数Ha(s)的情况下，如何求响应的数字滤波器的系统函数H(z)。6.4.1脉冲响应不变法的设计方法（1）,.,66,（2）两边进行拉氏反变换，得,（3）对ha(t)以周期T进行取样，有,（4）对上式两边进行Z变换，得,.,67,上式中的幂级数收敛应满足条件比较（6.13）和（6.10）式的系数，各极点分别对应，因此，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解为（6.10）所示的部分分式之和的形式，即可得到响应数字滤波器的系统函数H(z)。,总结：用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程：1、根据设计要求，设定指标。2、将数字滤波器性能指标变换为模拟滤波器的性能指标。3、设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)。4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出H(z)。,.,68,系数相同：,极点：s平面z平面,拉氏反变换,取样,Z变换,.,69,例题,解：,.,70,6.4.2模拟滤波器与数字滤波器的频率响应间的关系,数字仿真：就是依据AL设计出相应的DL，当它的输入等于AL的输入x(t)的取样x(n)时，其输出也等于AL的输出y(t)的取样y(n)。,AL,DL,取样,取样,图6.5数字仿真示意图,.,71,1时域的数字仿真,冲激响应不变准则：如果DL的冲激响应h(n)=Tha(nT)，则当输入为AL输入为x(t)的抽样x(nT)时，其输出就为AL输出y(t)的抽样y(nT)，即DL事AL的数字仿真。证明,对于一线性非移变因果系统有,.,72,当T足够小时，用t=nT代入上式，有,可见，当输入为x(n)时，其输出为,从时域来看，数字仿真的条件是：h(n)=Tha(nT),.,73,2频域的数字仿真,.,74,如图可见，从频域来看，数字仿真应满足条件：,图6.6模拟滤波器频率响应的延拓,.,75,6.4.3映射关系,.,76,.,77,.,78,图6.7脉冲响应不变法的映射关系,返回,.,79,.,80,6.3.3冲击响应不变法的特点,1.由于根据h(n)=Tha(nT)来设计，所得的数字滤波器保持了原模拟滤波器的时域瞬态特性。2.数字角频率与模拟角频率之间的关系=T是线性关系，不会发生非线性失真；但模拟滤波器的频响Ha()必须在上是严格限带的，否则，设计的滤波器在频域内容易出现混叠失真，这是其最大的缺点。3.当Ha()不严格限带或在时域内ha(t)变化不稳定时，不宜采用这种方法；另外，该法不能直接设计高通或带阻滤波器。,返回,.,81,6.4双线性变换法,脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=esT将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如下图所示。,.,82,图6.8双线性变换的映射关系,.,83,.,84,可以看出，一般模拟滤波器的基本单元是积分器1/s，因此，可以设法用某种数字网络来代替此基本单元，将模拟滤波器转换成相应的数字滤波器。,.,85,该积分器对信号as(t)输入的响应为,此即数字积分器的差分方程，可将模拟积分器转变成数字网络。,.,86,对（6.8）式进行Z变换,系统函数,可见，用数字网络来代替模拟滤波器的积分器，就可以得到与其性能相近的数字滤波器；z与s的关系都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换，对一个给定的模拟滤波器系统函数Ha(s)，只有利用这种双线性变换关系就可以得到对应的数字滤波器系统函数H(z),.,87,6.4.2S平面与Z平面的映射关系,图6.10双线性变换法s平面和z平面的映射,.,88,虚轴与单位圆的映射，也即模拟滤波器的角频率与响应数字角频率之间的映射关系,s平面的整个虚轴都映射到了z平面单位圆的一周之上，且与是一一对应的，不存在频域混叠失真的问题。由与之间的非线性关系，使得相应的数字滤波器的相位频率特性产生失真；但对于幅度频率特性，仍然可以使所得到的数字滤波器达到设计要求。,图6.11与之间的非线性关系,.,89,6.4.3双线性变换法的特点,1.不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数Ha()无限带要求，而且能直接设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。2.模拟滤波器与数字滤波器之间事非线性关系，会产生相频特性失真；但如果进行频率预畸变，这种非线性关系不会使所得的数字滤波器的幅频特性受较大的影响。,.,90,图6.12双线性变换时频率的预畸变,.,91,两种方法的比较,1、脉冲响应不变法随频率增加，与原模拟滤波器的幅度特征差别大，这是由于频率的混叠现象引起的。但是频率是线性变换的，所以曲线形状与原模拟滤波器很相近。2、双线性变换法的曲线形状偏离原模拟滤波器的幅度特性曲线的形状较大，这是由于变换算法的非线性造成的，小时，非线性的影响少一些，非线性的影响小，所以适合于片断常数滤波器的设计。故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。,.,92,例题：,试用脉冲响应法和双线性变换法将此滤波器系统函数变为数字系统函数H(z)。,解：(1)冲激响应不变法,.,93,（2）双线性变换法,.,94,例2,.,95,.,96,(2)双线性变换法根据双线性变换公式可得：故,.,97,练习1,.,98,.,99,3.4,.,100,6.6数字滤波器的变换,实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型。设计各种类型的数字滤波器通常可以把一个归一化的原型模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器，再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的数字滤波器。如图所示：,图6.13设计IIR滤波器的两种频率变换法,.,101,对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在下表列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换，取c=1,可使设计过程简化。,截止频率为c的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式,.,102,第二种方法是先进行模/数转换得到数字低通原型滤波器，再在数字域进行频率变换来得到所要求的数字滤波器，对于高通、带阻滤波器，由于脉冲响应不变法不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，脉冲响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，故对于脉冲响应不变法来说，采用第一种方案有时更方便一些。我们在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。,6.14四种数字滤波器的理想幅频特性,.,103,设数字低通滤波器的系统函数为Hl(z)，所要求的数字滤波器的系统函数Hd(Z)。由z平面到Z平面的映射为,一个对应于稳定因果的低通滤波器的有理系统函数H1(z)变换成的有理系统函数Hd(Z)，要对应于稳定因果的数字滤波器，即：（1）由于数字滤波器的系统函数都事复变量的有理函数（G(