高三数学直线文人教知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学直线高三数学直线（文）人教版（文）人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 直线 二. 知识要点： （一）直线的倾斜角（）和斜率（）k 1. 定义 倾斜角范围 斜率： 1800Rk 2. 与的关系：k )180,90()90,0tan 90 12 12 a xx yy k 不存在 )( 2 )0(arctan )0(arctan 不存在k kk kk 注：注：准确地把握这两个概念，关注斜率不存在带来的问题。k 例 （1）直线的斜率 ，倾斜角 。032 yxk （2）若，则直线的斜率 ，倾斜角 。0ab0cbyax 拓展：取消的限制，结论如何。0ab （3）直线 L 过点且与以，为端点的线段 PQ 相交，则斜率)2 , 1(M)3, 2(P)0 , 4(Q 的取值范围 ，倾斜角的取值范围 。 （4）若，则 。 3 2 6 k （5）若时，则 。12k 答案：答案：（1）； （2）；22arctan b a b a arctan （3）；), 5 5 2 ,( 5 2 arctan, 5arctan （4） （5）), 3 3 (3,(), 2arctan) 4 , 0 （二）直线方程 1. 直线方程的五种形式及适用范围 （1）斜截式： 不含与轴垂直的直线bkxyx （2）点斜式： 不含与轴垂直的直线)( 00 xxkyyx （3）两点式： 不含与轴、轴垂直的直线 12 1 12 1 xx xx yy yy xy （4）截矩式： 不含过原点和与轴、轴垂直的直线1 b y a x xy （5）一般式： 无限制（可表示任何直线）)0(0 22 BACByAx 用心 爱心 专心 注：注：两点式的“改良” 可表示任何直线。0)()( 121121 xxyyyyxx 2. 直线系： （1）平行直线系： （为待定系数，斜率已知）bxky 0 b 0 k （2）过定点直线系： （为待定系数，点为已知）)( 00 xxkyyk),( 00 yx （3）过两直线交点的直线系：已知；0: 1111 CyBxAL ，则 （为参0: 2222 CyBxAL0)()( : 222111 CyBxACyBxAL 数待定系数） L 是过与交点的直线系 （不含） 1 L 2 L 2 L 若，则 L 是与与平行的直线系。 21/ L L 1 L 2 L 注：注：（1）与已知直线平行的直线系：（为参数）0CByAx0mByAxm （2）与已知直线垂直的直线系：（为参数）0CByAx0nAyBxn （三）两条直线的位置关系 1. 判定两条直线的位置关系（三种：相交、平行、重合） 设； 111: bxkyL0 111 CyBxA ； 222 :bxkyL0 222 CyBxA （1）或仅有一个不存在 2121 kkPLL0 1221 BABA 或一个为零一个不存在1 2121 kkLL0 2121 BBAA （2）且或均不存在且 2121/ kkLL 21 bb 21,k k0 1221 BABA 21C A 0 12 CA （3）与重合且或均不存在且 1 L 2 L 21 kk 21 bb 21,k k0 1221 BABA 21C A 0 12 CA 例题 已知两直线；，当为何值时，06: 2 1 ymxL023)2( : 2 mmyxmLm 与（1）相交（2）平行（3）重合 1 L 2 L 解：解：当时，则 0 1221 BABA0)2(3 2 mmm0)3)(1(mmm （1）当时，； 0m06: 1 xL02: 2 xL 21/ L L （2）当时，； 1m06: 1 yxL0233: 2 yxL 21/ L L （3）当时，； 重合3m069: 1 yxL069: 2 yxL 21 LL， （4）当，时，相交。0m1m3m 说明：说明：时，与平行或重合相交且只有有数几个值应先分析。0 1221 BABA 1 L 2 L 2. 两条直线所成的角（夹角）与直线到的角 1 L 2 L 夹角： 到的角：| 1 |tan 21 21 kk kk 1 L 2 L 21 12 1 tan kk kk 3. 点到直线的距离： 22 00 | BA CByAx d 到的距离为；到的距离为，两条平)( 00y xPby | 0 by ),( 00 yxPax | 0 ax 行线；，则与的距离0: 11 CByAxl0: 22 CByAxl 1 l 2 l 22 21 | BA CC d 用心 爱心 专心 （四）对称性问题（专题）方法相关点法 1. 对称分两大类 （1）关于点中心对称：点关于定点中心对称点)( 00y xP),(baA)2 ,2( 00 ybxaQ （2）关于直线轴对称：点关于直线的对称点，)( 00y xP0:CByAxl),(yxQ 则解出的值为： 1)( 0 22 0 0 00 B A xx yy C yy B xx A yx , 22 0 22 0 2 2 BA CByAx Byy BA CByAx Axx 2. 常用对称的规律：已知点，直线),(yxP0532: yxL （1）关于 X 轴对称的对称点；),(yxQ0532:yxl （2）关于 Y 轴对称的对称点；),(yxQ 0532:yxl （3）关于直线的对称点；aX ),2(yxaQ053)2(2:yxal （4）关于直线的对称点；by )2 ,(ybxQ05)2(32:ybxl （5）关于原点的对称点；)0 , 0(O),(yxQ0532:yxl （6）关于点的对称点；),(baA)2 ,2(ybxaQ05)2(3)2(2:ybxal （7）关于直线的对称点；xy ),(xyQ0532:xyl （8）关于直线的对称点；xy),(xyQ0532:xyl （9）关于直线的对称点；axy),(axayQ05)(3)(2:axayl （10）关于直线的对称点；axy),(xayaQ 05)(3)(2:xayal 思考：思考：我们注意到只须将对称点的坐标 Q 代入直线 L 即得对称的直线方程，为什么？ 它们的理论依据是什么？“相关点法” 我们以（9）题为例，即求直线，关于直线对称的直线0532: yxLaxy 方程。 解：解：设所求直线上任意一点),(yxP 关于直线的对称点axy),( 00 yxQ 则 1 22 0 0 00 xx yy a xxyy 0 02 00 00 yxyx ayxyx axy ayx 0 0 即：lyxQ),( 00 05)(3)(2axay0523ayx 点拨：点拨： 代入对称点坐标的理论依据是“相关点法” 有关对称性问题都可用“相关点法”求对称曲线。 （五）线性规划 1. 二元一次不等式表示平面区域 （1）二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线0CByAxCByAxl: 一侧所有点组成的平面区域，直线 应画成虚线，表示直线 另一侧0l0CByAxl 所有点组成的平面区域，画不等式。所表示的平面区域时，应把边)0(0 CByAx 界直线画成实线。 用心 爱心 专心 （2）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各 个不等式所表示的平面区域的公共部分。 快捷判断法： （1）代点检验法 （2）直线上半平面为的区域；下半平面为的区域bkxybkxybkxy 2. 线性规划 （1）对于变量的约束条件，都是关于的一次不等式，称为线性约束条件，yx,yx, 是欲达到最值所涉及的变量的解析式，叫做目标函数。当是关于),(yxfz yx,),(yxf 的一次解析式时，叫做线性目标函数。yx,),(yxfz （2）求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约 束条件的解称为可行解。由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的可),(yx 行解叫最优解。 3. 求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出 可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。 【模拟试题模拟试题】（答题时间：45 分钟） 一. 选择题 1. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）1byax A. B. C. D. ab 2 1 | 2 1 ab ab2 1 |2 1 ab 2. 若直线与直线平行，则 在两坐标轴上截距之和为（ 02: ayxl032 yxl ） A. B. C. D. 6212 3. 过原点，且与直线成角的直线方程为（ ）013 yx 30 A. B. C. 或 D. 03yx023yx0xyx3x 4. 已知为直线和所成的角，则当取最0: 1 aayxl01)32(: 2 yaaxl 大值时，实数值为（ ）a A. B. 或 C. 或 D. 或2312010 5. 三条直线；不能围成三角形，则44: 1 yxl0: 2 ymxl432: 3 myxl 取值的个数为（ ）m A. B. C. D. 0245 6. 直线 过点，且与以和为端点的线段相交，则 斜率取值l)2 , 1(M)3, 2(P)0 , 4(Ql 范围为（ ） A. B. C. D. 以上都不对5 , 5 2 5 , 0() 0 , 5 2 ), 5 5 2 ,( 7. 将直线 沿轴正向平移 2 个单位，再沿轴负方向平移 3 个单位，又回到了原来的lxy 位置，则 的斜率为（ ）l A. B. C. D. 2 3 2 3 3 2 3 2 8. 已知点和分别是直线 上和 外的点，若 方程为，),( 111 yxP),( 222 yxPlll0),(yxf 则方程表示（ ）0),(),(),( 2211 yxfyxfyxf A. 与 重合的直线 B. 过且与 垂直的直线l 1 Pl 用心 爱心 专心 C. 过且与 平行的直线 D. 不过但与 平行的直线 2 Pl 2 Pl 9. 已知点，P 点在直线上，使最大，则 P) 1 , 4(A)4 , 0(B013 yx|PBAP 点坐标为（ ） A. B. C. D. )5 , 2()2 , 5()3 , 3 4 () 3 4 , 3( 10. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ）0lg6myxyxm A. B. 或 10 m 9 10m0m C. 或 D. 或 9 10m10 m 9 10m1m 11. 曲线关于直线对称的曲线方程为（ ）0),(yxf02 yx A. B. 0), 2(yxf0), 2(yxf C. D. 0)2, 2(xyf0)2, 2(xyf 12. 函数一条对称轴为，则倾斜角为（ xbxaycossin 4 x0:cbyaxl ） A. B. C. D. 45 135 60 120 13. 直线与及坐标轴围成的四边形有外接圆，则值为（ 0153 yx06 ykxk ） A. B. C. D. 23 5 2 5 2 14. 中，且，则 A 点轨迹方程为（ ）ABC) 0 , ( aB ) 0 , (aCkCBtantan A. B. )0( 222 ykaykx)0( 222 ykaykx C. D. )0( 222 ykakyx)0( 222 ykakyx 二. 填空题 15. 已知；，则、和轴围成三角0: 1 kkyxl02: 2 kykxl) 1(k 1 l 2 ly 形面积最小值为 。 16. 过点，的直线与直线交于 P 点，则 P 点分的比为)2 , 3(A) 1 , 6(B063 yxAB 。 17. 由确定的可行域中，横纵坐标均为整数的点有 个。 0 3 02 x y yx 18. 已知集合，1)(log| ),( 3 1 yxyxA1)(log| ),( 2 xyyxB 且，则中元素个数为 。),(yxC Zx|ZyCBA 三. 解答题 19. 过点作交正半轴于 A，作交正半轴于 B，若，且 AB 恰平分)4 , 2(M 1 lx 2 ly 21 ll 四边形 OAMB 面积，求直线 AB 方程。 20. 一化工厂生产某产品，生产成本为 20 元/，出厂价为 50 元/，每生产 1该kgkgkg 产品产生的污水，有两种处理方式：直接排入河流或输送到污水处理厂。环保部门 3 5 . 1 m 对排入河流污水收费为 15 元/，污水处理厂对污水收费为 5 元/，但只能净化污水 3 m 3 m 的，未净化污水仍排入河流，且排放费仍由厂家付给，若污水处理厂处理污水最大能%80 用心 爱心 专心 力为/分钟，环保部门允许该化工厂污水排入河流最大排放量为/分钟，问该化 3 1m 3 4 . 0 m 工厂每分钟生产多少产品，每分钟直接排入河流污水为多少时纯利润最高？ 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. C 7. B 8. C 9. A 10. C 11. D 12. B 13. B 14. A 二. 填空题 15. 16. 17. 18. )223( 2 1 1:162 三. 解答题 19. 解：设，则，) 1(2:xkylAB) 0 , 2 1 ( k A)2 , 0(kB 则，)4, 2 1( k MA)2, 2(kMB 由0 21 MBMAll