中考数学复习专题4.4 两个三角形相似的判定（解析版）

4.4 两个三角形相似的判定同步测试两个三角形相似的判定同步测试 【浙教版】【浙教版】 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （2019宽城区校级模拟）下列 44 的正方形网格中， 小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上， 则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是（） AB CD 【思路点拨】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计 算各边的长度即可解题 【答案】解：根据勾股定理，AC2，BC， 所以，夹直角的两边的比为2， 观各选项，只有 C 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似 故选：C 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法， 本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键 2 （2019 春潍城区期末）如图，在ABC 中，点 P 为 AB 上一点连接 CP若再添加一个条件使APC 与 ACB 相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（） 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 AACPBBAPCACB CAP：ACAC：ABDAP：ABPC：BC 【思路点拨】利用相似三角形的判定可求解 【答案】解：A、当ACPB，AA，可得APCACB，故该选项不符合题意； B、当APCACB，AA，可得APCACB，故该选项不符合题意； C、当 AP：ACAC：AB，AA，可得APCACB，故该选项不符合题意； D、当 AP：ABPC：BC，AA，无法证明APCACB，故该选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键 3 （2019玉林）如图，ABEFDC，ADBC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（） A3 对B5 对C6 对D8 对 【思路点拨】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，因为 ABEFDC，ADBC，所以 AEGADCCFGCBA，有 6 种组合 【答案】解：图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA， ABEFDC，ADBC AEGADCCFGCBA 共有 6 个组合分别为：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADC CBA，CFGCBA 故选：C 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定 4 （2018 秋昌图县期末）已知ABC 的三边长分别为 7.5，9 和 10.5，DEF 的一边长为 5，当DEF 的 另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（） 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 A4，5B5，6C6，7D7，8 【思路点拨】先计算出 ABC 的三边比为 5：6：7，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行 判断 【答案】解：ABC 的三边长分别为 7.5，9 和 10.5，三边的比为 7.5：9：10.55：6：7， 而DEF 的一边长为 5， 所以当DEF 的另两边长分别为 6、7 时，这两个三角形相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：三组对应边的比相等的两个三角形相似 5 （2019海港区一模）已知ABC，D 是 AC 上一点，尺规在 AB 上确定一点 E，使ADEABC，则符 合要求的作图痕迹是（） AB CD 【思路点拨】以 DA 为边、点 D 为顶点在ABC 内部作一个角等于B，角的另一边与 AB 的交点即为所 求作的点 【答案】解：如图，点 E 即为所求作的点 故选：A 【点睛】本题主要考查作图相似变换，根据相似三角形的判定明确过点 D 作一角等于B 或C，并 熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 6 （2019黔东南州一模）如图，在ABC 中，AB7cm，AC4cm，点 D 从 B 点以每秒 2cm 的速度向点 A 移动， 点 E 从 A 点以每秒 1cm 的速度向点 C 移动， 若 D、 E 同时出发， 同时停止 则经过多少时间ADE 与ABC 相似 （） A（s）B（s） C（s）或（s）D（s）或（s） 【思路点拨】分两种情况：当ADEABC 时；当AEDABC 时；由三角形相似得出对应边 成比例，即可求出 t 的值 【答案】解：设经过 t 秒ADE 与ABC 相似 点 D 从 B 点以每秒 2cm 的速度向点 A 移动，点 E 从 A 点以每秒 1cm 的速度向点 C 移动，D、E 同时 出发，同时停止， BD2t，AEt， AB7， ADABBD72t 分两种情况： 当ADEABC 时， 即，解得：t； 当AEDABC 时， 即，解得：t 综上所述，经过秒或秒时，ADE 与ABC 相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键 7 （2018 秋丹东期末）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，BC4BF，那么图中与ADE 相似的三角 形有（） 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 ACDFBBEFCBEF、DCFDBEF，EDF 【思路点拨】根据正方形的性质得设 BC4a，则 BFa，AEBE2a，CF3a，利用勾股定理计算出 DE2a， EFa， DF5a， 然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断AEDBFE， AEDEFD 【答案】解：设 BC4a，则 BFa，AEBE2a，CF3a， 在 RtAED 中，DE2a， 在 RtBEF 中，EFa， 在 RtDFC 中，DF5a， 2，2，2， ， AEDBFE， 同理可得AEDEFD 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等 且夹角对应相等的两个三角形相似也考查了正方形的性质 8 （2018 秋槐荫区期末）如图，下列四个选项不一定成立的是（） ACODAOBBAOCBODCDCABACDPCAPBD 【思路点拨】利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可； 【答案】解：OCDOAB，CODAOB， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 CODAOB 同法可证：AOCBOD PCA+ACD180，ACD+ABD180， PCAPBD， PP， PCAPBD， 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 9 （2019庆云县一模）如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（） AACDDABBADDE CAD2BDCDDADABACBD 【思路点拨】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对 A 进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆 周角定理得到DACB，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对 B 进行判定；利用两组 对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对 C、D 进行判定 【答案】解：A、因为ADCBDA，ACDDAB，所以DACDBA，所以 A 选项添加的条件 正确； B、由 ADDE 得DACE，而BE，所以DACB，加上ADCBDA，所以DAC DBA，所以 B 选项添加的条件正确； C、由 AD2DBCD，即 AD：DBDC：DA，加上ADCBDA，所以DACDBA，所以 C 选项 添加的条件正确； D、由 ADABACBD 得，而不能确定ABDDAC，即不能确定点 D 为弧 AE 的中点，所 以不能判定DACDBA，所以 D 选项添加的条件错误 故选：D 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等 且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了圆周角定理 10 （2018 春梁子湖区期中）如图，ABC 中，A60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，BM，CN 交于点 O，连接 MN下列结论：AMNABC；图中共有 8 对相似三角形；BC2MN其中 正确的个数是（） A1 个B2 个C3 个D0 个 【思路点拨】依据ABMACN，即可得出AMNABC，进而得到AMNABC；依据ABM ACNOBNOCM，AMNABC，BCONMO，可得图中共有 8 对相似三角形；依据 ANAC，AMNABC，即可得到，即 BC2MN 【答案】解：BMAC，CNAB， ANCAMB90， 又AA， ABMACN， ，即， 又AA， AMNABC， AMNABC，故正确； 由题可得，ABMACNOBNOCM，AMNABC，BCONMO， 图中共有 8 对相似三角形，故正确； RtACN 中，A60， ACN30， ANAC， 又AMNABC， ， 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 即 BC2MN，故正确 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的 性质的综合运用，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键在判定两个三角形相似时，应注意利用 图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用 二二.填空题填空题 11如图，若BDAC，则ABCDAC 【思路点拨】需根据已知按对应关系将其填写完整即可 【答案】解：在ABC 和DAC 中，因为CC，BDAC 所以ABCDAC 【点睛】考查学生对相似三角形的判定的运用，注意边的对应和角的对应 12如图，ABCD90，AC9cm，BC6cm，则当 BD4cm 时，ABCCDB 【思路点拨】ABC 和CDB 中，已知了ABCD90，如果两三角形相似，那么两三角形的直 角边应该对应成比例，据此可求出 BD 的长 【答案】解：ABCD90， 当时，ABCCDB； 即 BD4cm 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定的运用，注意边的对应 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 13 （2018 秋赣榆区期末）如图，在ABC 中，AB4，BC8，点 P 是 AB 边的中点，点 Q 是 BC 边上一 个动点，当 BQ1 或 4时，BPQ 与BAC 相似 【思路点拨】直接利用BPQBAC 或BPQBCA，分别得出答案 【答案】解：当BPQBAC 时， 则， AB4，BC8，点 P 是 AB 边的中点， BP2， 故， 解得：BQ4； 当BPQBCA 时， 则， AB4，BC8，点 P 是 AB 边的中点， BP2， 故， 解得：BQ1， 综上所述：当 BQ1 或 4 时，BPQ 与BAC 相似 故答案为：1 或 4 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键 14 （2018 秋秀屿区校级月考）如图，ABC 中，C90，BC8m，AB10m，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2m/s 的速度移动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动若 P、Q 同时分别从 B、 C 出发，经过2.4秒，CPQCBA 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【思路点拨】设经过 t 秒时，CPQCBA，根据相似三角形的性质得到 CP：CBCQ：CA，解方程 即可得到结论 【答案】解：设经过 t 秒时，CPQCBA， 如图，ABC 中，C90，BC8m，AB10m， 由勾股定理求得：AC6（m） CPQCBA， CP：CBCQ：CA，即（82t） ：8t：6 t2.4 故答案是：2.4 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似 15 （2019泰兴市一模）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，B90，AB1，CD2，BCm，点 P 是边 BC 上一动点，若PAB 与PCD 相似，且满足条件的点 P 恰有 2 个，则 m 的值为3 或 2 【思路点拨】由平行线得出C90，当BAPCDP 时，PABPDC，得出，得出 PC2PB，当BAPCPD 时，PABDPC，得出，即 PBPC122，由 得：PB1，得出 PC2，BC3； 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 设 BPx，则mx，得出 x：21： （mx） ，整理得：x2mx+20，方程有唯一解时，m280， 解得：m2（负值舍去） ，得出 m2；即可得出结论 【答案】解：ABCD，B90， C+B180， C90， 当BAPCDP 时，PABPDC， ，即， PC2PB， 当BAPCPD 时，PABDPC， ，即 PBPC122， 由得：2PB22， 解得：PB1， PC2， BC3； 设 BPx，则mx， x：21： （mx） ， 整理得：x2mx+20， 方程有唯一解时，m280， 解得：m2（负值舍去） ， m2； 综上所述，若PAB 与PCD 相似，且满足条件的点 P 恰有 2 个，则 m 的值为 3 或 2； 故答案为：3 或 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、分类讨论；熟练掌握相似三角形的判定 与性质是解题的关键 三三.解答题解答题 16 （2019 春海淀区校级月考）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 DC 上一点，连接 AEF 为 AE 上一 点，且BFEC 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 求证：ABFEAD 【思路点拨】由四边形 ABCD 是平行四边形可以得出 ABCD，ABCD，ADBC，可以得出D AFB，可以得出ABFEAD 【答案】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，ADBC， D+C180 AFE+BFE180且BFEC DAFB ABCD， BAEAED， ABFEAD 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定的运用解答 17 （2018 秋兰山区期末）如图，已知BAECAD，AB18，AC48，AE15，AD40 求证：ABCAED 【思路点拨】由BAECAD 知BAE+EACCAD+EAC，即BACEAD，再根据线段的 长得出，据此即可得证 【答案】解：BAECAD， BAE+EACCAD+EAC，即BACEAD， AB18，AC48，AE15，AD40， ， ABCAED 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 夹角对应相等的两个三角形相似 18 （2018 秋宜宾县期中）已知如图所示，AFBC，CEAB，垂足分别是 F、E，试证明： （1）BAFBCE （2）BEFBCA 【思路点拨】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断； （2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明； 【答案】解： （1）AFBC，CEAB， AFBCEB90， BB， BAFBCE （2）BAFBCE， ， ， BB， BEFBCA 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中 考常考题型 19 （2018 秋姜堰区校级月考）如图，点 B、D、E 在一条直线上，BE 与 AC 相交于点 F， （1）求证：BADCAE； （2）若BAD21，求EBC 的度数： （3）若连接 EC，求证：ABDACE 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 【思路点拨】 （1）根据相似三角形的性质定理得到BACDAE，结合图形，证明即可； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【答案】 （1）证明： ABCADE； BACDAE， BACDAFDAEDAF， 即BADCAE； （2）解：ABCADE， ABCADE， ABCABE+EBC，ADEABE+BAD， EBCBAD21； （3）证明：连接 CE， ABCADE， BACDAE， BACDAFDAEDAF， 即BADCAE， ABDACE 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 20 （2017 秋望江县期末）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的 中点， （1）求证：AC2ABAD； （2）求证：AFDCFE 【思路点拨】 （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到 CEBEAE，根据等腰三角形的性质得到EACECA，推出 AD CE 即可解决问题； 【答案】 （1）证明：AC 平分DAB， DACCAB， ADCACB90， ADCACB， AD：ACAC：AB， AC2ABAD； （2）证明：E 为 AB 的中点， CEBEAE， EACECA， DACCAB， DACECA， CEAD， AFDCFE 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理 是解题的关键 21如图，点 C，D 在线段 AB 上，且PCD 是等边三角形 （1）当 AC，CD，DB 满足怎样的数量关系时，ACPPDB，说明你的理由 本文由微信公众号：考辅网.考霸宝典 收集整理 本文由微信公众号：小题大做工作室 收集整理 （2）当ACPPDB 时，求APB 的度数 【思路点拨】（1） 根据等边三角形的性质得到PCD=PDC=60， PC=CD=PD， 根据外角的性质得到ACP= PDB=120，然后根据相似三角形的判定即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到APC=PBD，根据外角的性质得到DPB+DBP=60，于是得到结论 【答案】解： （1）当 CD2=ACDB 时，ACPPDB， PCD 是等边三角形， PCD=PDC=60，PC=CD=PD， ACP=PD