吉林省白山市高二数学上学期期末联考试题理（含解析） (2)

吉林省白山市2018-2019学年高二上学期期末联考数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和结论进行否定即可.【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知：命题“，”的否定是“，”，故选B.【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题.2.椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由椭圆的方程，求出a和c，进而求出离心率。【详解】由题意知椭圆中，故离心率.故选A.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属于基础题。3.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有 A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C【解析】【分析】过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可【详解】设直线在x、y轴上的截距分别为a和，则直线l的方程为，直线过点，解得：，此时直线l的方程为；当时，直线过原点，设直线方程为，过点，此时直线l的方程为，即；综上，直线l的方程有2条故选：C【点睛】本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题4.已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【详解】焦距为10，曲线的焦点坐标为，双曲线C：的一条渐近线的斜率为，解得，所求的双曲线方程为：故选：D【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为，上半部分为直三棱柱，高为，底面是等腰直角三角形，直角边长为，再由正方体与棱柱的体积公式求解【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为，上半部分为直三棱柱，高为，底面是等腰直角三角形，直角边长为，则该几何体的体积, 故选C【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题6.“”是“直线与直线互相平行”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】直线与直线互相平行， 解得或，当m=0，两条直线重合.故”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出m是解决本题的关键7.在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求出的坐标，由数量积求夹角公式求解【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为，则， 则 异面直线与所成角的余弦值为 ,故选：A【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题8.已知直线l：，圆C：，则下列说法正确的是A. l与C可能相切或相交B. l与C可能相离或相切C. l与C一定相交D. l与C可能相交或相离【答案】C【解析】【分析】由直线系方程可得直线所过定点，检验可得点在圆内，故一定相交【详解】由直线l：可得：，由可得该直线所过的定点为，检验可知，该点在圆内，故选：C【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，难度不大9.已知直线与抛物线C：的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段MN的中点在x轴上，则 A. 2B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得直线与x轴的交点，以及抛物线的准线方程，可得M的坐标，由中点坐标公式可得N的坐标，代入抛物线方程可得p的方程，解方程可得p的值【详解】直线与x轴的交点为，由抛物线的准线方程，可得，由T为MN的中点，可得，代入抛物线的方程可得，化为，解得舍去，故选：B【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题10.在三棱锥中，底面ABC，则点C到平面PAB的距离是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离【详解】在三棱锥中，底面ABC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则4，4，0，0，4，0，4，设平面PAB的法向量y，则，取，得，点C到平面PAB的距离故选：B【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.点P在椭圆：上，的右焦点为F，点Q在圆：上，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可【详解】点P在椭圆：上，的右焦点为，左焦点，如图：圆：上，可得：，圆心坐标，半径为2由椭圆的定义可得：，则，由题意可得：的最小值为：，故选：D【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力12.设双曲线（，）的上顶点为，直线与交于，两点，过，分别作，的垂线交于点，若到点的距离不超过，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的对称性可知点在轴上，设，求得，进而根据题设条件得到关于的不等式，得出关于离心率的不等式，即可求解。【详解】由题意可知，且，由双曲线的对称性可知点在轴上，设，则，所以.所以 ，所以.因为，所以，即，解得，又，所以，故选D。【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围，其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质，根据题设条件，得出关于 的不等式，即关于离心率的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】【分析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标【详解】抛物线的焦点坐标 故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查14.命题“当时，若，则”的逆命题是_【答案】当时，若，则【解析】【分析】利用原命题与逆命题之间的关系转化即可。【详解】原命题为：“当时，若，则.”它的逆命题为：“当时，若，则.”【点睛】原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。15.倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆所截得的弦长为2，则_【答案】【解析】【分析】设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解【详解】倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为：，即，圆心到直线的距离为：，得，故答案为：此题考查了圆的弦长问题，难度不大【点睛】此题考查了圆的弦长问题，难度不大16.已知在长方体中，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】在长方体中，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知椭圆W：的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD若W的一个焦点为，求W的方程；若，求W的方程【答案】(1)见解析；(2) 见解析；【解析】【分析】由已知求得c与b的值，再由隐含条件求得a，然后分类写出椭圆方程；由已知求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，然后分类写出椭圆方程【详解】由已知可得，若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为；由已知可得，则，又，则若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18.已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率若是真命题，求m的取值范围；若是真命题，是假命题，求m的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求出命题为真命题的等价条件，结合是真命题，则同时为真命题，进行计算即可（2）若是真命题，是假命题，则一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可【详解】解：方程表示椭圆；则，则，得，得或，即p：或；双曲线的离心率则，得，则，即，则q：，若是真命题，则，都是真命题，则，得若是真命题，是假命题，则，一个为真命题，一个为假命题，若真假，则，得，若假真，则，此时，综上：或【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键19.如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，平面平面ABCD，M为PC的中点证明：平面BDM；若直线PA与底面ABCD所成角为，求三棱锥的体积【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】利用中位线得线线平行，进而得线面平行；利用两面垂直得到线面所成角，而后在直角三角形APC中可得相关线段长，从而求得底面积和高，得解【详解】如图，设AC，BD交于O，连接OM，在中，又平面BDM，平面BDM，平面BDM；平面平面ABCD，即为直线PA与底面ABCD所成的角，即，又，底面是边长为4的菱形，平面PAC，又，而BD，OM为平面MBD内两条相交线，平面MBD，故三棱锥的体积为：【点睛】本题考查了线面平行，线面所成角，线面垂直，面面垂直，锥体体积等，是中档题20.如图，四边形为正方形，且 ，平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）先推导出平面，进而，能得到平面，从而有再根据DBAC，从而AC平面BDFE，由此能证明平面ACE平面BDFE（2）利用空间坐标系，写出平面的一个法向量，并求得平面的法向量为，利用求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：四边形为正方形，.，.又平面，.,平面，.又，平面，平面，平面平面.（2）解：平面，平面.以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，则，设平面的法向量为，则，令，则.易知平面的一个法向量，.二面角为锐角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明及面面垂直的证明，考查了利用空间向量解决立体几何中的二面角问题，属于中档题.21.已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B若弦AB的中点为M，求直线l的方程；设O为坐标原点，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解； （2）设直线方程为由解得，由求解【详解】解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则有，两式作差可得：，即，则直线的方程为，即；当轴时，不符合题意，故设直线方程为，解得【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力22.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线求曲线的方程；已知直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为，设，证明：直线过定点，并求面积的最大值【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）点在圆上运动，引起点的运动，我们可以由，得到点和点坐标之间的关系式，并