分段函数的几个问题高三数学总复习教案新课标人教

分段函数的几个问题高三数学总复习教案http:/www.DearEDU.com与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解的方法 一、求分段函数的函数值 例1 已知函数 求fff(a) (a0)的值。分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a0, f(a)=2a，又02a1, , , 所以，。 注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段 二、求分段函数的解析式 例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示： (I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? 解析： (I)由图l可得市场售价与时间的关系为 由图2可得种植成本与时间的函数关系为 （0t300）。 (II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得h(t)=f(t)-g(t) 再求h(t)的最大值即可。 注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。 三求分段函数的最值 例3求例2中的利润函数（即上市的西红柿收益）在何时上市可使西红柿的纯收益最大？ 解析：当0t200时，配方，整理，得 所以当t=50时，h(t)取得区间0,200上的最大值100； 当20087.5知，h(t)在区间0,300上可取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 例4设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,xR, 求f(x)的最小值。 分析：因为原函数可化为 所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。 解：当xa时，函数f(x)=x2-x+a+1, 所以若，则函数f(x)在(-,a上单调递减，从而f(x)在(-,a上的最小值为f(a)=a2+1。 若，则函数f(x)在(-,a上的最小值为，且； 当xa时，函数； 若，则函数f(x)在a,+)上的最小值为，且。 若，则函数f(x)在a,+)上的最小值为f(a)=a2+1。 综上，当时，函数f(x)的最小值是； 当时，函数f(x)的最小值是a2+1；当时，函数f(x)的最小值是。 注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。 四求分段函数的值域 例5求函数的值域。 解：因为当x0时，x2+11；当x0时，-x20时，-x0, f(-x)=-(-x)2(-x+1)=x2(x-1)=f(x)；当x=0时，f(-0)=f(0)=0；当xx2必须分成三类： 1.当x1x20时，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2)0； 2.当0x1x2时，则； 3.当x10x2时，则 综上所述：xR，且x1x2时，有f(x1)-f(x2)0。 所以函数f(x)是增函数。 注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。 七求分段函数的反函数 例8求函数的反函数。 解： f(x)在R上是单调减函数， f(x)在R上有反函数。 y=x2+1(x0)的反函数是(x1), y=1-x(x0)的反函数是y=1-x(x1), 函数f(x)的反函数是 注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 八分段函数的图象 例9已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值。 解： f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3