仿真四数学理

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷(四)数学理工农医类本试卷分第卷（选择题共60分）和第卷（非选择题共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第卷(选择题共60分)注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=圆:x2+y2=1,B=直线:y=x,则AB为A.(,)B.(,)C.( ,),(,)D.解析: 注意集合中的元素,A为圆,B为直线,故AB=.答案: D2.用6种不同的颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一色涂不同的区域,但相邻的区域不能涂同一色,则不同的涂法共有A.400种B.460种C.480种D.496种解析: 由ABCD的顺序填涂可得,共有、=480种填涂方法.答案: C3.使得点A(cos2,sin2)到点B(cos,sin)的距离为1的的一个值是A.B.C.D.解析: |AB|=2|sin|=1.答案: C4.已知4a2b=(2,2),c=(1,),ac=3,|b|=4,则b与c的夹角是A.B.C.D.解析: 由题设得4ac2bc=432bc=(2,2)(1, ),故得bc=4.所以cos= =,故选B本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量数量积公式的灵活应用.答案:B5.已知数列an=,其中a0,ban+1B.an0,ban+1.答案: A6.函数y=的大致图象是解析: y=是奇函数,且当x=1时,y=0,所以选D.答案: D7.如下图,正方体的棱长为3 cm,在每一个面的正中有一个正方形孔通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体的各棱,则该几何体的总表面积为A.54 cm2B.72 cm2C.76 cm2D.84 cm2解析: 把棱长为3 cm的正方体分割成棱长为1 cm的正方体共有33=27个,如题意抽去三个方向上的正方体,余下的可分为两类.第一类:处于正方体8个顶点上的8个小正方体,它们算入表面积的面各3个,共38=24(cm2);第二类:处于正方体各棱中间的正方体,每个正方体算入表面积的面各4个,共412=48(cm2),则总表面积为24+48=72(cm2).注：此题另一种思路是：外表面积8648(cm2),内表面积212=24(cm2),总表面积72 cm2.答案: B8.如果kx对一切x15均成立,则有A.k0B.k0或kC.k0或kD.0k0),由=0,得k=;由得x=10,而x15,当x=15时,k=.k0或k.答案: C9.满足不等式0y2|x|的整数解(x,y)的个数是A.6B.7C.8D.9解析: 由已知|x|2,则2x2.当x=2,2时，y=0.有2个；当x=1,1时，y=0,1.有4个；当x=0时，y=0,1,2.有3个.综上，共有9个，故选D.答案: D10.一名射击运动员命中的概率为0.7,那么他射击21次后最可能的命中次数是A.13或14B.14或15C.16或17D.17或18解析: 满足几何分布,E=np=14.7.B满足.答案: B11.若(anb)=1,则ab的值是A.8B.4C.8D.16解析: (anb)=存在,则2a2b2=0.原式=1.=1.由可知,a=2,b=4.ab=8.答案: A12.已知f(x)=则f(1)、f(1)等于A.2B.3C.1D.1解析: f(x)=f(1)f(1)=1.答案: C普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(四)第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.在(+)2004的展开式中,系数为有理数的项共有_项.解析: 易知Tr+1=21002xr.其系数为有理数的充要条件是r为2与3的倍数,即r被6整除,所以r=6k(kZ).06k2004,0k334(kZ).k=0,1,2,334.系数为有理数的项共有335项.或利用等差数列通项公式,由2004=6(n1),解得n=335.答案: 33514.如下图的电路中有a、b、c三个开关,每个开关断开或闭合的概率都是,且是相互独立的,则在某时刻灯泡甲、乙亮的概率分别是_.解析: 甲亮须a、c闭合,b开启,P甲=.乙亮a必须闭合,b、c只需一个闭合即可,P乙=(+)=.答案: ,15.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_种.解析:从10个点中任取4个的组合数为=210种.其中4点共面的分三类.(1)4点在同一侧面或底面的共4组,即4=60种.(2)每条棱的中点与它的对棱上三点共面,这样的共6种.(3)在6个中点中,4点共面数有3种.故4点不共面的取法有210(60+6+3)=141种.答案: 14116.关于正四棱锥PABCD,给出下列命题:异面直线PA与BD所成的角为直角;侧面为锐角三角形;侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角;相邻两侧面所成的二面角为钝角.其中正确命题的序号是_.解析:对,如图,顶点P在底面上的射影为底面中心O.ACBD,PABD,即PA与BD所成的角为直角.对,设正四棱锥底面边长为a,侧棱长为b,则AC=a,OA=OB=a.ba,在PAB中,PA2+PB2AB2=2b2a22(a)2a2=0,APB为锐角,故APB为锐角三角形,即侧面为锐角三角形.对,取BC中点E,连PE、OE,易知PEO为侧面与底面所成的角,PBO为侧棱与底面所成的角,sinPEO=,sinPBO=.PBPE,sinPEOsinPBO.PEOPBO.对,作AFPB于F,连FC,易证FCPB,AFC为相邻两侧面所成的二面角.AFAB,CFBC,在AFC中,AF2+CF2AC290.故相邻两侧面所成的二面角为钝角.答案: 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x0,求f(x)的最大值、最小值.解:（1）因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x=(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x)sin2x=cos2xsin2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T=.6分(2)因为0x,所以2x+.当2x+=时,cos(2x+)取得最大值;当2x+=时,cos(2x+)取得最小值1.所以f(x)在0,上的最大值为1,最小值为.12分18.(本小题满分12分)已知正四棱柱ABCDABCD的底面边长为3,高为4.(1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC垂直?证明你的结论.(2)求二面角ABCB的大小.(3)求点D到平面ABC的距离.解法一:(几何法)(1)不存在.证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线l与BC垂直.ABCDABCD是正四棱柱,ABBC.又AB与l相交,BC平面ABCD.又BB平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC垂直.4分(2)作BHBC于H.连结AH.AB平面BBC,AHBC.AHB为二面角ABCB的平面角.易求得BH=,AH=.又AB=3,ABH中,cosAHB=.AHB=arccos为所求.8分(3)设d为所求距离.VDABC=VBACD,SABCd=SACDBBd=(32)4d=为所求.12分解法二:(向量法)(1)不存在.证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(E在AD上且与A不重合)与BC垂直(如图).设E(0,t,4)(t0),则=(0,t,4)(3,0,4)=(3,t,0).又=+=(0,0,4)+(0,3,0)=(0,3,4),=(0,3,4)(3,t,0)=3t=0t=0,这与t0矛盾.平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC垂直.(2)如图,作AHBC于H,连结BH.AB平面BBC,BH是AH在平面BBC内的射影.BHBC.AHB就是二面角ABCB的平面角.设H(3,y,z),B(3,0,0),=(0,y,z).又=(3,3,0)(3,0,4)=(0,3,4), =3y+4z.,3y+4z=0.又由 =,可得4y+3z12=0.解联立的方程组,得y=,z=.故=(3,0,0)(0,)=(3,),=(3,).又易得|=,|=.cosAHB=.AHB=arccos为所求.8分(3)由(2)可知BC平面AHB.BC平面ABC,平面AHB平面ABC.作BGAH于G,则BG平面ABC,BG就是点B到平面ABC的距离.BG=BHsinAHB=.ABCDABCD是正四棱柱,易证点D与点B到平面ABC的距离相等.为所求.12分19.(本小题满分12分)二人掷一颗骰子,两人各掷一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,以致k点出现的概率是Pk(k=1,2,3,4,5,6).在这种情况下,(1)求二人平局的概率P.(2)证明P;并证明如果P=,则Pk=(k=1,2,3,4,5,6).(1)解:P=P12+P22+P62.4分(2)证明:P1+P2+P6=1,(P1)2+(P2)2+(P6)2=P12+P22+P62 (P1+P2+P6)+=P0,P,当P=时,P1=P2=P6=.12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=在x=2处有一个极大值.(1)求a、b的关系式,并判断a的符号;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)f(x)=.f(x)在x=2处有一个极大值,f(2)=0,从而3a+4b=0.将b=a代入得f(x)=.f(x)在x=2处有极大值,当x0;x2时,f(x)0.6分(2)令f(x)0解得x2,从而f(x)在(,2)内是增函数;令f(x)0,解得x2,从而f(x)在(,)或(2,+)内是减函数.12分21.(本小题满分12分)已知正数项数列an和bn满足bn=+an,bn+1=bn(1an+12)(nN*),a1=1.(1)求数列an和bn的前4项;(2)求数列an和bn的通项公式.解:(1)对一切nN*都成立,又a1=1,b1=+a1=.由式得解得a2=,b2=,同理解得a3=,b3=和a4=,b4=,数列an的前4项为a1=1,a2=,a3=,a4=,数列bn的前4项为b1=,b2=,b3=,b4=.6分(2)由a1=1=,a2=,a3=,a4=猜想数列an的通项公式为an=(nN*).数学归纳法证明如下:当n=1、2、3、4时,由前计算知公式成立.设n=k(k4)时,公式成立,即ak=.当n=k+1时,由式得消去bk+1得又bk=+ak=+=,把它代入式解得ak+1=,即n=k+1时,公式也成立.对一切nN*,an=成立,此时bn=+an=+=.数列an,bn的通项公式分别为an=,bn=.12分说明:可先猜想数列bn的通项公式,再用数学归纳法证明,最后由式解得an