排列组合与二项式定理

排列、组合与二项式定理161 加法原理和乘法原理1、加法原理问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？加法原理：完成一件事有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2、乘法原理问题：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，问：某人从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？乘法原理：完成一件事需要个步骤，第步有种不同的方法，第步有种不同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。例1：书架上放有本不同的数学书，本不同的语文书，本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同科目的书两本，有多少种不同的取法？解：（1）。（2）。（3）。例2：（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数？（2）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个各位数字可以重复的三位整数？（3）由数字0，1，2，3，4，5组成的三位整数中，有且只有两位数字相同（如114、303、255等）的数有多少个？解：（1）。（2）。（3）。另解： 。课堂练习1、4名同学报名参加篮球、射击、游泳三个活动小组，每人限报一项，则不同的报名情况共有多少种？ 2、4名运动员争夺3项冠军，则冠军获得者的可能情况有多少种？ 3、用红、黄、蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号，每次可以挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可表示多少种不同的信号？4、（）的不同正约数共有多少个？5、在300和800之间，有多少个无重复数字的奇数？6、某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，从中选出人，一人去当英语翻译，另一人去当日语翻译，有多少种不同的选法?解：1、分4步：2、分3步：3、先分类，再分步4、分3步：5、先分类，再分步：6、分两类：课后作业1、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？2、将四封信投入到三个邮筒中，有多少种不同的投递方式？3、在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个? 4、用数字0、1、2、3可以组成多少个无重复数字的自然数？5、 满足=1,2,3的集合、共有多少组? 6、如下图,共有多少个不同的三角形?7、4名同学各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则不同的分配方式共有多少种？8、矩形的两条对角线把矩形分成4个部分，用4种不同颜色给这4个部分涂色，要求每个部分只涂一种颜色，且有公共边的相邻部分颜色不同，则共有多少种不同的涂法？解：1、6； 2、81； 3、45； 4、49； 5、9； 6、35； 7、27； 8、8416.2 排列 1、排列的概念问题：（1）从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？（2）从这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？从个不同元素中，任取（）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。2、排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个不同元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。注意区别排列和排列数的不同：“排列”是指从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成的一列元素；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数。3、排列数公式及其推导：。4、全排列数：，叫做n的阶乘。规定。5、排列数的另一个计算公式： 即 = 。例1、计算：； 。解：原式=；原式。例2、解方程：3。解：。例3、解不等式：。解：。例4、求证：（1）； （2）。证明：（1），原式成立。（2）右边 原式成立。例5、化简：；。解：原式；提示：由，得， 原式。例6、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：（1）60； （2）125。例7、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：。例8、将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解：（种）例9、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用加法原理：。解法2：符合条件的三位数可以分成三类：。解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此符合条件的三位数的个数是-。例10、（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解：（1）解：7个元素的全排列5040。（2）解：76543217！5040。（3）解：余下的6个元素的全排列=720。（4）解：=240。（5）解法1： 2400；解法2：=2400种。例11、 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）；解法二：（从特殊元素考虑）若选：；若不选：，则共有种；解法三：（间接法）。例12、 7位同学站成一排。（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起。解：（1）；（2）720；（3）960，960；（4）。例13、7位同学站成一排。（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：（1）解法一：（排除法）；解法二：（插空法）。（2）1440种。例14、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列解：（1）；（2）方法1：；方法2：（种）练习：1、9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有多少？2、用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数。(1)有多少个奇数；(2)有多少个大于2500的数。3、一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？4、 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？ 5、3女4男共七个学生排队,在下列情况下,不同的排法有几种?(1)正副组长必须在两端；(2)某人不在中间,也不在两端；(3)甲不在左端,乙不在右端； (4)甲在中间五个位置.乙在右端以外六个位置； (5)3个女生要排在一起；(6)3个女生互不相邻；(7)男女间隔排列；(8)甲，乙，丙次序一定；(9)男生次序一定,女生次序也一定；(10)甲乙两人中间必须间隔三人。6、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有多少种？7、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？8、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数。（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？9、一排10个空座位,4个人坐在这些空位上。(1)若每人的左右两边都有空位,有几种坐法?(2)若6个空位中,4个空位连在一起,另两个空位也连在一起,但6个空位不连在一起,共有几种坐法?解：1、166320； 2、(1)480； （2）660。 3、484、（1）, （2）（）5、(1)240； (2)2880； (3)3720； (4)3000； (5)720； (6)1440； (7)144； (8)840； (9)35； (10)720。6、72, 144。 7、。 8、30； 150。 9、120；480。163 组合 1、组合的概念：问题： (1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。3、组合数公式的推导：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：。 组合数的公式： 或。规定：。例1、求证：。证明：，。例2、设 ，求的值。 解：由题意可得： ，解得， 或或，当时原式值为4；当时原式值为7；当时原式值为11。例3、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：（1）；（2）第一类 2名男生和2名女生参加，有中选法；第二类 3名男生和1名女生参加，有中选法，共有100种选法。错解：种选法。例4、100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件。（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？解：（1）； （2）； （3）；（4）解法一：（直接法）； 解法二：（间接法）。4、 组合数的性质（1）（2）+例5、（1）计算：；（2）求证：+。解：（1）原式；证明：（2）右边左边。例6、解方程：（1）；（2）解方程：。解：（1）由原方程得或，或， 又把和代入检验，满足， 原方程的解为或。（2）原方程可化为，即，解得或， 经检验：是原方程的解 。例7、从编号为1，2，3，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类：1奇4偶有 ； 3奇2偶有； 5奇1偶有，一共有+。例8、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，一共有+42种方法。例9、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法）。解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有，一共有+42种方法。例10、（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：；（2）（捆绑法）：144。例11、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。解：（1）种；（2）；（3）；（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法；（5）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90540种方法。例12、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（1）（法一）：；（法二）：种方法； （2）（插空法）：。例13、马路上有编号为1，2，3，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）：种方法。例14、九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况： 若取出6，则有种方法；若不取6，则有种方法，一共有+602种方法 。例15、某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿；再从所一般大学中选所填在第二档次的三个志愿栏内，其中、两校必选，且在前,问：此考生共有多少种不同的填表方法？解：。例16、如图是由12个小正方形组成的矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有多少条？解： 例17、圆周上有个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？解：只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即个。例18、有只不同的试验产品，其中有只次品，只正品，现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：思路一：设想有五个位置，先从只正品中任选只，放在前四个位置的任一个上，有种方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法故不同的情形共有种。思路二：设想有五个位置，先从只次品中任选只，放在第五个位置上，有种方法；再从只正品中任选只，和剩下的只次品一起在前四个位置上任意排列，有种方法故不同的情形共有种。例19、在一次象棋比赛中，进行单循环比赛，其中有人，他们各赛了场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了场，问：比赛开始时参赛者有多少人？解：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则，解得，所以，比赛开始时参赛者有人 。练习：1、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有几种？2、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有几种？3、以正方形的4个顶点，4边中点和中心这9个点中的3点为顶点的三角形有几个？4、有2个，3个，4个共9个字母排成一排，不同的排法有几种？5、6个人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶，有几种不同的带法？6、从、这四个数字中任取个，从、这个数字中任取两个，可以组成多少个无重复数字的五位数？7、从双不同的鞋子中任取只（）取出的只鞋子恰好配成双，有多少种不同的取法？（）取出的只鞋子至少能配成1双，有多少种不同的取法？（）取出的只鞋子任何只都不能配成双，有多少种不同的取法？8、有划船运动员人，其中人只会划右舷，人只会划左舷，其余人既会划右舷，又会划左舷。现从这人中选出人平均分配在船的两舷划桨，并安排好位置，问有多少种不同的安排方法？解：（1）960；（2）10；（3）76；（4）1260；（5）126；（6）1248；（7）10；130；80；（8）675。164 二项式定理1、复习引入： ；2、二项式定理这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，它有项；展开式中各项形如的系数叫二项式系数，注意区分二项展开式某项的系数与该项的二项式系数的异同； 叫二项展开式的通项，用表示，即通项；二项式定理中，设，则例1、展开解： 例2、（1）求的展开式中的倒数第项（2）求的展开式的中间两项解：（1）的展开式中共项，它的倒数第项是第项，（2），的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项， 例3、求的展开式中的系数及二项式系数。解：的展开式的通项是，的系数，的二项式系数。例4、已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14:3，求展开式的常数项.解：依题意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10。设第r+1项为常数项，又 令，此所求常数项为180。例5、已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。解：由题意：， 即，舍去） （1）若是常数项，则，即， ，这不可能，展开式中没有常数项；（2）若是有理项，当且仅当为整数， ， ，即 展开式中有三项有理项，分别是：， 。例6、已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值。解：展开式中含的项为，即，(1)当时, 展开式中含的项的系数为；（2）当时,展开式中含的项的系数为， ，当时，取最小值，但， 时，即项的系数最小，最小值为，此时。综上：最小值为。3、二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 。4、二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，。（1）对称性：与