湖北荆门外高数学一轮检测第10章计数原理、概率、随机变量及其分布6776pdf

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业课时作业 67分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理 一、选择题 1高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践， 但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案 有() A16 种B18 种 C37 种D48 种 解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共 43种，甲工厂没有班 级去的分配方案共 33种，因此满足条件的不同的分配方案共有 4333 37 种 答案：C 2a，b，c，d，e 共 5 个人，从中选 1 名组长 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同选法的种数是() A20B16 C10D6 解析：当 a 当组长时，则共有 144 种选法；当 a 不当组长时， 又因为 a 也不能当副组长，则共有 4312 种选法因此共有 412 16 种选法 答案：B 3 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学， 在数学 检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有() A8 种B9 种 C10 种D11 种 解析：设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为 a，b， c，d，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同 方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计 数原理共有 3339(种) 答案：B 4已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为() A40B16 C13D10 解析：分两类情况讨论： 第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平 面； 第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平 面 根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513 个不同的平面 答案：C 5 如果一条直线与一个平面平行， 那么称此直线与平面构成一个 “平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四 个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A60B48 C36D24 解析：长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636 个， 6 个对角面构成的“平行线面组”有 6212(个)故共有 3612 48(个) 答案：B 6如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现有要求在其 余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一 种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为() A64B72 C84D96 解析：分成两类：A 和 C 同色时有 43336(种)；A 和 C 不同 色时 432248(种)，一共有 364884(种) 答案：C 二、填空题 7一个乒乓球队里有男队员 5 人，女队员 4 人，从中选出男、女 队员各一名组成混合双打，共有_种不同的选法 解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行： 第一步选一名男队员，有 5 种选法；第二步选一名女队员，有 4 种选 法，共有 5420(种)选法 答案：20 8如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好 数”，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好 数”共有_个 解析：当相同的数字不是 1 时，有 C 1 3个；当相同的数字是 1 时， 共有 C13C 1 3个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13C13C1312 个 答案：12 9集合 Na，b，c5，4，2,1,4，若关于 x 的不等 式ax2bxc0恒有实数解， 则满足条件的集合N的个数是_ 解析：依题意知，最多有 C3510 个集合 N，其中对于不等式 ax2 bxc0，且b2 4ac0，因此只有当 a，c 同号时才有可能，共有 2 种情况，因此满足 条件的集合 N 的个数是 1028. 答案：8 三、解答题 10某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 28 人，A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人 (1)从中任选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ 解：从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法，从 A 型血的人 中选 1 人共有 7 种不同的选法，从 B 型血的人中选 1 人共有 9 种不同 的选法，从 AB 型血的人中选 1 人共有 3 种不同的选法 (1)任选 1 人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选 1 人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有 287 9347 种不同选法 (2)要从四种血型的人中各选 1 人，即要在每种血型的人中依次选 出 1 人后，这件“各选 1 人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法 计数原理，有 287935 292 种不同的选法 11由数字 1,2,3,4， (1)可组成多少个三位数； (2)可组成多少个没有重复数字的三位数； (3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数 字，十位数字大于个位数字 解：(1)百位数共有 4 种排法；十位数共有 4 种排法；个位数共有 4 种排法，根据分步乘法计数原理共可组成 4364(个)三位数 (2)百位上共有 4 种排法；十位上共有 3 种排法；个位上共有 2 种 排法，由分步乘法计数原理共可排成没有重复数字的三位数 432 24(个) (3)排出的三位数分别是 432,431,421,321，共 4 个 1某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有() A4 种B10 种 C18 种D20 种 解析：分两类：第一类是取出 1 本画册，3 本集邮册，此时赠送 方法有 C144 种；第二类是取出 2 本画册，2 本集邮册，此时赠送方 法有 C246 种故赠送方法共有 4610 种 答案：B 2将 1,2,3，9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一 行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当 3,4 固定在图中的位 置时，填写空格的方法为() A6 种B12 种 C18 种D24 种 解析： 因为每一行从左到右， 每一列从上到下分别依次增大， 1,2,9 只有一种填法， 5 只能填在右上角或左下角， 5 填好后与之相邻的空格 可填 6,7,8 任一个， 余下两个数字按从小到大只有一种方法 共有 23 6 种结果，故选 A. 答案：A 3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这 样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为 _ 解析：若 a22，则“凸数”为 120 与 121，共 122 个若 a23，则“凸数”有 236 个若 a24，满足条件的“凸数”有 3412 个，若 a29，满足条件的“凸数”有 8972 个 所有凸数有 26122030425672240(个) 答案：240 4. 编号为 A，B，C，D，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里， 要求每个盒子只能放一个小球，且 A 球不能放在 1,2 号，B 球必须放 在与 A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？ 解：根据 A 球所在位置分三类： (1)若 A 球放在 3 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内，余下的 三个盒子放球 C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216 种不同的放法； (2)若 A 球放在 5 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内，余下的 三个盒子放球 C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216 种不同的放法； (3)若 A 球放在 4 号盒子内，则 B 球可以放在 2 号、3 号、5 号盒 子中的任何一个，余下的三个盒子放球 C、D、E 有 A336 种不同的 放法，根据分步乘法计数原理得，332118 种不同方法 综上所述， 由分类加法计数原理得不同的放法共有 661830 种 课时作业课时作业 68排列与组合排列与组合 一、选择题 1用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 共有() A30 个B36 个 C40 个D60 个 解析：分两步完成：个位必为奇数，有 A 1 3种选法；从余下的 4 个数中任选 2 个排在三位数的百位、十位上，有 A 2 4种选法由分步 乘法计数原理，共有 A13A2436(个)无重复数字的三位奇数 答案：B 2甲、乙两人计划从 A，B，C 三个景点中各选择两个游玩，则 两人所选景点不全相同的选法共有() A3 种B6 种 C9 种D12 种 解析：本题用排除法，甲、乙两人从 A，B，C 三个景点中各选两 个游玩，共有 C23C239 种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除 3 种完全相同的选择，故有 6 种，选 B. 答案：B 3现有 12 件商品摆放在货架上，摆成上层 4 件下层 8 件，现将 下层 8 件中的 2 件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同 的调整种数是() A420B560 C840D20 160 解析： 从下层 8 件中取 2 件有 C2828 种方法， 将 2 件调整到上层， 有 5630 种，所以不同的调整方法有 2830840(种) 答案：C 4某大学 8 名学生准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大 四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学(乘同一 辆车的 4 名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则 乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式有 () A24 种B18 种 C48 种D36 种 解析：若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外 2 人分 别来自不同年级，有 C23C12C1212 种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车， 则 2 名同学来自一个年级，另外 2 名同学来自不同年级，有 C13C12C12 12 种，所以共有 24 种乘车方式，选 A. 答案：A 5(2014重庆卷)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类 节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 () A72B120 C144D168 解析：先排歌舞类节目有 A 3 3种方法，若小品类与相声类去插空 时插两个位置，则有 C12A22A228 种方法若小品类与相声类去插空时 插三个位置则有 A33212 种方法，综合可知同类节目不相邻的有 A33(812)120 种方法 答案：B 6 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的国家级保护动物， 有公共 点的 2 条棱所代表的 2 种动物不能放在同一放养区，没有公共点的 2 条棱所代表的 2 种动物可以放在同一放养区现打算用编号 a，b，c， d 的 4 个放养区来放养这 8 种动物，那么安全的放养方式有() A96 种B48 种 C24 种D100 种 解析：相交的两条棱所代表的 2 种动物不能放养在同一区域，如 图， 现设侧棱分别为 1,2,3,4， 底面上的边分别为 5,6,7,8.由图分析可知， 每个放养区可放 2 种动物，由图可知右下图中的对应是安全的 不妨设先将编号为 1,2,3,4 的动物放入放养区，有 A 4 4种放法，然 后从有 1 的开始： 若有 1 的放养区放 5，则有 2 的放养区放 6，且 8 只能放在含 4 的放养区中，那么 7 只能放在含有 3 的放养区中； 若有 1 的放养区放 8，同理可知也只有 1 种放法，故放法有 2 种安全的放养方式有 2A4448 种 答案：B 二、填空题 7有 4 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有 1 人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛， 则不同的参赛方案的种数为_(用数字作答) 解析： 首先把 4 名同学转化为 3 名同学， 然后分给 3 个比赛项目， 则每个比赛项目至少有一名同学参加， 不同参加方案的种数有 C24A33 36，但要去掉甲同学参加跳舞比赛方案的种数有 C23A22A3312，所以 该比赛不同的参赛方案的种数有 361224. 答案：24 8(2014北京卷)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种 解析：先考虑 A、B 相邻，共有 A22A4448 种方法，再排除 A 与 B 相邻，又满足 A 与 C 相邻的情况，共有 A33212 种方法，综上，符 合题意的摆放顺序共有 481236 种 答案：36 96 人站一排照相，其中有甲、乙两人，则甲、乙两人之间间隔 两人的排法有_种 解析：从除了甲、乙之外的 4 人中选两个人排在一起放在甲、乙 中间则有 A24；甲、乙二人的排法：A22，所以 6 人站在一排的所有的排 法有 A24A22A33432321144(种) 答案：144 三、解答题 10要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动 (1)A，B，C 三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A，B，C 三人只有一人入选有多少种不同选法？ (3)A，B，C 三人至多二人入选有多少种不同选法？ 解：(1)只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C2936 种 选法 (2)可分两步，先从 A，B，C 三人中选出 1 人，有 C 1 3种选法，再 从余下的 9 人中选 4 人， 有 C 4 9种选法， 所以共有 C13C49378 种选法 (3)可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C 5 12种，再减去 A，B， C 三人都入选的情况有 C 2 9种，所以共有 C512C29756 种选法 11 已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品， 现对它们进行一一测 试，直至找出所有次品为止 (1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后 一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试 方法数是多少？ 解：(1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 4 6种不同测试方法， 再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的位置上测试，有 C24A22 A 2 4种测试方法，再排余下 4 件的测试位置，有 A 4 4种测试方法所以 共有 A46A24A44103 680 种不同的测试方法 (2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而 前 4 次有一件正品出现， 所以共有 A14C16A44576 种不同的测试方法 1 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果， 且从 这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种 可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周 中每天所吃水果个数的不同选择方案共有() A50 种B51 种 C140 种D141 种 解析： 因为第一天和第七天吃的水果数相同， 所以中间“多一个” 或“少一个”的天数必须相同，都是 0、1、2、3，共 4 种情况，所以 共有 C06C16C15C26C24C36C33141 种，故选 D. 答案：D 2在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生 到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生 不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作， 则不同的分配方法总数为() A36B72 C84D108 解析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医 院至少安排一名医生，当有二所医院分 2 人另一所医院分 1 人时， 总数有C 2 5C23 A22 A 3 3种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组有 A33 4A 3 3种；有二所医院分 1 人另一所医院分 3 人，有 C12C12A 3 3种，故 满足条件的分法共有C 2 5C23 A22 A33A334A33C12C12A339062424 84 种 答案：C 3已知集合 M1,2,3,4,5,6，集合 A、B、C 为 M 的非空子集， 若xA、yB、zC，xf(r1)成立 反之，当 rk1，k2，2k 时，f(r)f(r1)成立 f(k)C k 2k最大，即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数 最大 课时作业课时作业 70随机事件的概率随机事件的概率 一、选择题 1 从一批羽毛球产品中任取一个， 其质量小于 4.8 g 的概率为 0.3， 质量小于 4.85 g 的概率为 0.32，那么质量在4.8,4.85)(g)范围内的概率 是() A0.62B0.38C0.02D0.68 解析：所求概率 P0.320.30.02. 答案：C 2抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1 000 次，则第 999 次出现正面朝上的概率是() A. 1 999 B. 1 1 000 C. 999 1 000 D.1 2 解析：概率是定值，所以不管抛多少次硬币，正面向上的概率不 变，所以正面或反面向上的概率是1 2，故选 D. 答案：D 3 围棋盒子中有多粒黑子和白子， 已知从中取出 2 粒都是黑子的 概率为1 7，从中取出 2 粒都是白子的概率是 12 35.则从中任意取出 2 粒恰 好是同一色的概率是() A.1 7 B.12 35 C.17 35 D1 解析：2 粒棋子恰好同一色可以同是黑色，也可以同是白色，故 所求概率为 P1 7 12 35 17 35. 答案：C 4现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率：先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0、1 表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标，以 4 个 随机数为一组， 代表射击 4 次的结果， 经随机模拟产生了 20 组随机数： 75270293714098570347437386366947 14174698037162332616804560113661 9597742476104281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 () A0.852B0.819 2 C0.8D0.75 解析：由题意得 P1 5 200.75.故选 D. 答案：D 5口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45 个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概 率为() A0.45B0.67 C0.64D0.32 解析：P(摸出黑球)10.450.230.32. 答案：D 6先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于 6 的条件下， 先后出现的点数中有 3 的概率为() A.1 6 B.1 5 C.1 3 D.2 5 解析：由题意可知，在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出 现的点数中有 3 的概率为 5 54321 1 3. 答案：C 二、填空题 7 甲、 乙两人下棋， 甲获胜的概率是 40%， 甲不输的概率为 90%， 则甲、乙两人下成平局的概率为_ 解析：平局的概率为 90%40%0.5. 答案：0.5 8小军、小燕和小明是同班同学，假设他们三人早上到校先后的 可能性是相同的，则事件“小燕比小明先到校”的概率是_ 解析：3 人到校的先后情况有(小军、小燕、小明)，(小军、小明、 小燕)，(小燕、小军、小明)，(小燕、小明、小军)，(小明、小燕、小 军)，(小明、小军、小燕)，共 6 种，其中小燕比小明先到学校有 3 种， 故所求概率为1 2. 答案：1 2 9某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组 分别有 39,32,33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如 图所示现随机选取一名成员，他至少参加 2 个小组的概率是 _，他至多参加 2 个小组的概率为_ 解析：随机选一名成员，恰好参加 2 个小组的概率 P(A)11 60 7 60 10 60 7 15，恰好参加 3 个小组的概率 P(B) 8 60 2 15，则他至少参加 2 个小组的概率为 P(A)P(B) 7 15 2 15 3 5，至多参加 2 个小组的概率 为 1P(B)1 2 15 13 15. 答案：3 5 13 15 三、解答题 10(2015河北省五个一名校联盟质量监测)随机抽取某中学高三 年级甲、乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身 高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损 (1)若已知甲班同学身高平均数为 170 cm，求污损处的数据； (2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于 173 cm 的同 学，求身高 176 cm 的同学被抽中的概率 解：(1)甲班同学身高的平均数 x 158162163168168170171179a182 10 170. 解得 a179，所以污损处是 9. (2)设“身高 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A， 从乙班 10 名同学中抽取 2 名身高不低于 173 cm 的同学有： 181,173，181,176，181,178，181,179，179,173，179,176， 179,178，178,173，178,176，176,173，共 10 个基本事件， 而事件 A 含有 4 个基本事件， 所以 P(A) 4 10 2 5. 11某售报亭每天以每份 0.6 元的价格从报社购进若干份报纸， 然后以每份 1 元的价格出售， 如果当天卖不完， 剩下的报纸以每份 0.1 元的价格卖给废品收购站 (1)若售报亭一天购进 280 份报纸，求当天的利润 y(单位：元)关 于当天需求量 x 的函数关系解析式； (2)售报亭记录了 100 天报纸的日需求量，整理得下表： 日需求量 x(份)240250260270280290300 频数10201616151310 假设售报亭在这 100 天内每天都购进 280 份报纸，求这 100 天 的日平均利润； 若售报亭一天购进 280 份报纸，以 100 元记录的各需求量的频 率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过 100 元的概率 解：(1)当 x280 时，y280(10.6)112； 当 x280 时，y(10.6)x0.5(280x)0.9x140. 综上，y 0.9x140，x280 112，x280 ，xN*. (2)这 100 天中每天利润 76 元的有 10 天，每天利润 85 元的有 20 天，每天利润 94 元的有 16 天，每天利润 103 元的有 16 天，每天 利润 112 元的有 38 天 所以这 100 天的日平均利润为 7610852094161031611238 100 98.68(元) 利润不超过 100 元，即当且仅当报纸日需求量不大于 260 份 故当天的利润不超过 100 元的概率为 P0.10.20.160.46. 1掷一个骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”， 事件 B 表示“小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A B 发生 的概率为() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.5 6 解析： 由于事件总数为 6， 故 P(A)2 6 1 3， P(B) 4 6 2 3， 从而 P( B ) 1P(B)12 3 1 3，且 A 与 B 互斥，故 P(A B )P(A)P( B ) 1 3 1 3 2 3.故选 C. 答案：C 2设集合 A1,2，B1,2,3，分别从集合 A 和 B 中随机取一 个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 xyn 上”为事件 Cn(2n5，nN)，若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有可能值为() A3B4 C2 和 5D3 和 4 解析：P(a，b)的个数为 6 个 落在直线 xy2 上的概率 P(C2)1 6，若在直线 xy3 上的概 率 P(C3)2 6，落在直线 xy4 上的概率 P(C 4)2 6，落在直线 xy 5 上的概率 P(C5)1 6. 答案：D 3三张卡片上分别写有字母 E，E，B，将三张卡片随机地排成 一行，恰好排成英文单词 BEE 的概率为_ 解析：记写有字母 E 的两张卡片分别为 E1，E2，则三张卡片随机 排成一行的所有可能情况为 BE1E2E2E1，E1BE2E2B，E2BE1E1B，共 6 种，其中三张卡片恰好排成英文单词 BEE 的事件个数为 2，故所求的 概率 P2 6 1 3. 答案：1 3 4某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了 100 位顾客购物的相关数据，整理如下： 一次购物款 (单位：元) 0,50)50,100) 100， 150) 150， 200) 200， ) 顾客人数m2030n10 统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客占 60%，据统计该商场每日大约有 5 000 名顾客，为了增加商场销售额 度，对一次购物不低于 100 元的顾客发放纪念品(每人一件)(注：视 频率为概率) (1)试确定 m，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量； (2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款 200 元及以上 的一次返利 30 元；一次购物款小于 200 元的按购物款的百分比返利， 具体见下表： 一次购物款 (单位：元) 0,50)50,100)100,150)150,200) 返利百分比06%8%10% 请估计该商场日均让利多少元？ 解：(1)由已知，100 位顾客中购物款不低于 100 元的顾客有 n 103010060%，解得 n20.m100(20302010)20. 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 5 000 60 1003 000. (2)设购物款为 a 元 当 a50,100)时，顾客有 5 00020%1 000 人， 当 a100,150)时，顾客有 5 00030%1 500 人， 当 a150,200)时，顾客有 5 00020%1 000 人， 当 a200，)时，顾客有 5 00010%500 人， 所以估计日均让利为 756%1 0001258%1 500 17510%1 0003050052 000 元 课时作业课时作业 71古典概型古典概型 一、选择题 1 高三(4)班有 4 个学习小组， 从中抽出 2 个小组进行作业检查 在 这个试验中，基本事件的个数为() A2B4 C6D8 解析：设这 4 个学习小组为 A、B、C、D，“从中任抽取两个小 组”的基本事件有 AB、AC、AD、BC、BD、CD，共 6 个 答案：C 2集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则 这两数之和等于 4 的概率是() A.2 3 B1 2 C.1 3 D1 6 解析：从 A、B 中各任意取一个数，有(2,1)，(2,2), (2,3)，(3,1)， (3,2)，(3,3)，共 6 种情况，其中两数之和为 4 的有(2,2)，(3,1)两种情 况，所求概率为 P2 6 1 3. 答案：C 3从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另 两个数之和的概率是() A.1 6 B1 4 C.1 3 D1 2 解析：不妨设取出的三个数为 x，y，z(xyn，又只剩下一半情况，即有 15 种，因此 P(A)15 36 5 12. 答案： 5 12 9 某校高三年级要从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 名代表参加数 学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选 中的概率是_ 解析：(间接法)甲乙二人均没入选的概率为C 3 4 C36 1 5，从而甲、乙有 至少有一人入选的概率为 11 5 4 5. 答案：4 5 三、解答题 10甲、乙两人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4， 方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上， 甲先抽， 乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张 (1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃 2，乙抽到 红桃 3，记为(2,3)，写出甲乙两人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲乙约定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜， 你认为此游戏是否公平？请说明理由 解：(1)方片 4 用 4表示，则甲乙两人抽到的牌的所有情况为： (2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4， 2)，(4，3)，(4，4)共 12 种不同的情况 (2)甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2,4,4，因此乙抽到的牌的数字 大于 3 的概率为2 3. (3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，(3,2)， 共 5 种情况 甲胜的概率为 P1 5 12，乙胜的概率为 P 2 7 12.因为 5 120 就 去打球，若 X0 就去唱歌，若 X0 就去下棋 (1)写出数量积 X 的所有可能取值； (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 解：(1)X 的所有可能取值为2，1,0,1. (2)数量积为2 的有OA2 OA5 ，共 1 种； 数量积为1 的有OA1 OA5 ，OA1 OA6 ，OA2 OA4 ，OA2 OA6 ， OA3 OA4 ，OA3 OA5 ，共 6 种； 数量积为 0 的有OA1 OA3 ，OA1 OA4 ，OA3 OA6 ，OA4 OA6 ，共 4 种； 数量积为 1 的有OA1 OA2 ，OA2 OA3 ，OA4 OA5 ，OA5 OA6 ，共 4 种 故所有可能的情况共有 15 种 所以小波去下棋的概率为 P1 7 15； 因为去唱歌的概率为 P2 4 15，所以小波不去唱歌的概率 P1P21 4 15 11 15. 课时作业课时作业 72几何概型几何概型 一、选择题 1(2014湖南卷)在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的 概率为() A.4 5 B3 5 C.2 5 D1 5 解析： 在2,3上符合 x1 的区间为2,1， 所以 P12 32 3 5. 答案：B 2 (2014辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 () A. 2 B 4 C. 6 D 8 解析：考查几何概型，所求概率为 PS 半圆 S 矩形 1 21 2 12 4. 答案：B 3 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于() A.1 4 B1 3 C.1 2 D2 3 解析：不妨设矩形的长、宽分别为 a、b，于是 S 矩形ab，SABE 1 2ab，由几何概型的概率公式可知 P SABE S 矩形 1 2. 答案：C 4在区间5,5内随机地取出一个数 a，则恰好使 1 是关于 x 的 不等式 2x2axa20 的一个解的概率为() A0.3B0.4 C0.6D0.7 解析：由已知得 2aa22 或 a1 4AB. 故所求概率为 P 3 4AB AB 3 4. 答案：3 4 8(2014福建卷)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆 子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_ 解析：设所求面积为 S，则S 1 180 1 000，S0.18. 答案：0.18 9 (2014重庆卷)某校早上 800 开始上课， 假设该校学生小张与 小王在早上 730750 之间到校， 且每人在该时间段的任何时刻到 校 是 等 可 能 的 ， 则 小 张 比 小 王 至 少 早 5 分 钟 到 校 的 概 率 为 _(用数字作答) 解析： 用 x， y 分别表示小张， 小王到校的时间， 则 30x50,30y50， 所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域 ABCD. 小张比小王至少早到 5 分钟， 即 yx5， 如图对应区域为DEF， 所求概率 PS DEF SABCD 1 21515 2020 9 32. 答案： 9 32 三、解答题 10. 如图所示，在单位圆 O 的某一直径上随机地取一点 Q，求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率 解：弦长不超过 1，即|OQ| 3 2 ， 而 Q 点在直径 AB 上是随机的，事件 A弦长超过 1 由几何概型的概率公式得 P(A) 3 2 2 2 3 2 . 故弦长不超过 1 的概率为 1P(A)1 3 2 . 所求弦长不超过 1 的概率为 1 3 2 . 11设关于 x 的一元二次方程 x22axb20.若 a 是从区间0,3 任取的一个数，b 是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率 解：设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根”当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为 ab. 试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成 事件 A 的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，根据条件画出构成 的区域(略)，可得所求的概率为 P(A) 321 22 2 32 2 3. 1 在区间0,2之间随机抽取一个数 x， 则 x 满足 2x10 的概率 为() A.3 4 B1 2 C.1 4 D1 3 解析：区间0,2看作总长度为 2，区间0,2中满足 2x10 的只 有 1 2，2，长度为3 2，P 3 2 2 3 4. 答案：A 2已知ABC 外接圆 O 的半径为 1，且OA OB 1 2，C 3， 从圆 O 内随机取一个点 M， 若点 M 取自ABC 内的概率恰为3 3 4 ， 则 ABC 的形状为() A直角三角形B等边三角形 C钝角三角形D等腰直角三角形 解析：由题意得 1 2CACBsin 3 12 3 3 4 ， 所以 CACB3. 在ABC 中，由于 OAOB1，AOB120， 所以 AB 3. 由余弦定理得 AB2CA2CB22CACBcos 3，即 CA 2CB26， 所以 CACB 3，ABC 的形状为等边三角形 答案：B 3如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随 机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为_ 解析：设事件 M“动点在三棱锥 AA1BD 内”， P(M) V 三棱锥 AA1BD V 长方体 ABCDA1B1C1D1 V 三棱锥 A1ABD V 长方体 ABCDA1B1C1D1 1 3AA 1SABD V 长方体 ABCDA1B1C1D1 1 3AA 11 2S 矩形ABCD V 长方体 ABCDA1B1C1D1 1 6. 答案：1 6 4已知正方形 ABCD 的边长为 2，E、F、G、H 分别是边 AB、 BC、CD、DA 的中点 (1)从 C、D、E、F、G、H 这六个点中，随机选取两个点，记这 两个点之间的距离的平方为，求概率 P(4) (2)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P，求满足|PE|2 的概率 解：(1)P(4)11 15. (2)这是一个几何概型，所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部，其面积是 224，满足|PE|2 的点 P 构成的平面区域是以 E 为圆心，2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部的公共部分，它 可以看作是由一个以 E 为圆心，2 为半径、圆心角为 3的扇形的内部与 两个直角边分别为 1 和 3的直角三角形内部构成其面积是1 2 32 2 21 21 3 2 3 3. 所以满足|PE|7)P(X8)P(X9)P(X10) 0.280.290.220.79. 答案：C 3离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn) a nn1(n 1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P 1 2X 5 2 的值为() A.2 3 B3 4 C.4 5 D5 6 解析：由 1 12 1 23 1 34 1 45 a1， 知 4 5a1，解得 a 5 4. 故 P 1 2X 5 2 P(1)P(2) 1 2 5 4 1 6 5 4 5 6. 答案：D 4设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)等于() A0B1 2 C.1 3 D2 3 解析：设 X 的分布列为 X01 Pp2p 即“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功，设失败率为 p，则成功率为 2p.由 p2p1，则 p1 3，故应选 C. 答案：C 5带活动门的小盒子里有采自同一巢的 20 只工蜂和 10 只雄蜂， 现随机地放出 5 只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则 X2 时的概率是() A.C 1 20C410 C530 BC 2 20C310 C530 C.C 3 20C210 C530 DC 4 20C110 C530 解析：X 服从超几何分布，P(X2)C 2 20C310 C530 . 答案：B 6一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任 取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变 量，其分布列为 P(X)，则 P(X4)的值为() A. 1 220 B27 55 C. 27 220 D21 25 解析：由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球，故 P(X4) C 2 3C19 C312 27 220. 答案：C 二、填空题 7 若 P(x2)1， P(x1)1， 其中 x18 且 n N*)，其中女校友 6 位，组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名 单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2 位校友是一男一女， 则称为“最佳组合” (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1 2， 求 n 的最大值； (2)当 n12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为，求的 分布列 解：(1)由题意可知，所选 2 人为“最佳组合”的概率为C 1 n6C16 C2n 12n6 nn1 ，则12n6 nn1 1 2， 化简得 n225n1440，解得 9n16，故 n 的最大值为 16. (2)由题意得，的可能取值为 0,1,2， 则 P(0) C26 C212 5 22， P(1)C 1 6C16 C212 6 11， P(2) C26 C212 5 22， 的分布列为 012 P 5 22 6 11 5 22 1一位客人游览福州鼓山、福州永泰天门山、福州青云山这三个 景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6， 且客人是否游览哪个景点互不影响， 设 Y 表示客人离开福州市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝 对值求 Y 的分布列 解：分别记“客人游览福州鼓山”，“客人游览福州永泰天门 山”，“客人游览福州青云山”为事件 A1，A2，A3.因为事件 A1，A2， A3是相互独立的，P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6. 由于客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3，相应地，客人没有 游览的景点数的可能取值为 3,2,1,0，所以 Y 的所有可能取值为 1,3. 所以 P(Y3)P(A1A2A3)P( A 1 A 2 A 3)P(A1)P(A2)P(A3) P( A 1)P( A 2)P( A 3)20.40.50.60.24，P(Y1)10.24 0.76， 所以 Y 的分布列为 Y13 P0.760.24 2在一个盒子中，放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片，现从这个 盒子中，有放回地随机抽取两张卡片，记第一次抽取的卡片的标号为 x，第二次抽取的卡片的标号为 y，设 O 为坐标原点，点 P