广东广州仲元中学高三数学训练《直线、平面、简单几何》解析

广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(直线、平面、简单几何)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1过空间一点与已知平面垂直的直线有()A0条B1条C0条或1条 D无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，故选B.答案：B2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线l，使得l，lB存在一个平面，使得，C存在一个平面，使得，D存在一条直线l，使得l，l解析：对于A，由l，l得，因此A不正确；对于B，若直线l，则任意一个经过直线l的平面都与平面垂直，显然可以找到两个都经过直线l但互不垂直的平面、，因此B不正确；对于C，由，只能得出，因此C不正确；对于D，由l，l可得，因此D正确答案：D3(2010郑州二检)设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，解析：依题意易知A，D中的位置关系不确定，故A、D错误；对于B，易知ab，故B错误；对于C，因为b，故b，又a，所以ab，故C正确答案：C4(2010浙江温州八校联考)已知直线a，如果直线b同时满足条件a与b异面；a与b成定角；a与b的距离为定值，则这样的直线b()A唯一确定 B有2条C有4条 D有无数条解析：找出模型，如墙角处考虑D正确答案：D5正方体ABCDABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|b(ba)，Q点在DC上滑动，则四面体AEFQ的体积为()图1A与E、F位置有关B与Q位置有关C与E、F、Q位置都有关D与E、F、Q位置均无关，是定值解析：VAEFQVQAEF.答案：D6设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连结MB、MC，若BMC90，则的值为()A. B.C. D1解析：设正四面体的棱长为a，MHx，则MC2MB2MH2BH2x2a2，在RtBMC中，由MB2MC2BC2，得2(x2a2)a2，解得xa，AMMHAH，即1.答案：D7已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()A. B.C. D.解析：设球心O到平面ABC的距离为h，由等体积法可知，VOABCVCAOB，即hSABCOCSAOB，即h.答案：B8将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是()A. B.C. D.解析：由题意易知ABC1即为AD与BC1所成的角，解ABC1，得余弦为.答案：D9(2010保定调研)在正四面体SABC中，E为SA的中点，F为ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为()Aarccos B45Carctan Darctan解析：连接SF，则SF平面ABC.连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EGSF，EG平面ABC，EFG即为EF与平面ABC所成的角图2设正四面体的边长为a，则AHa，且AFAHa；在RtAGE中，AE，AGAFa，EGA90，EGa.在RtEGF中，FGAFa，EGa，EGF90，tanEFG，EFGarctan，即EF与平面ABC所成的角为arctan，故选C.答案：C10(2010江西五校联考)如图3，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的平面角大小为，则sin的值等于()图3A. B.C. D.解析：由题意可知，折起后平面ABC平面BCD，又DCBC，DC平面ABC，DCAB，又ABAD，ADDCD，AB平面ACD，ABAC，CAD即为二面角CABD的平面角，在直角三角形ACD中，易求得sin，故选C.答案：C11(2009全国卷)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是图4 ()A南 B北C西 D下解析：将展开图还原成原来的正方体可知选B.答案：B12(2010南昌一调)如图5，在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E、F分别是AD、AD的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角AADB所围成的几何体的体积为()图5A.B.C.D.解析：依题意可知|FP|MN|1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是(13)，选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13(2010郑州一检)下列命题：如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；垂直于同一直线的两个不同平面相互平行其中的真命题是_(把正确的命题序号全部填在横线上)解析：对于，相应的两个平面可能相交，因此不正确；对于，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此不正确；对于，显然正确答案：14设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为，B与C的球面距离为，则球O在二面角BOAC内的这部分球面的面积是_解析：如图6所示图6A与B，A与C的球面距离都为，OAOB，OAOC.从而BOC为二面角BOAC的平面角又B与C的球面距离为，BOC.这样球O在二面角BOAC的部分球面的面积等于4R2R2.答案：R215如图7，BAD90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面成60的二面角，则AB与平面BCD所成角的大小为_图7解析：作AEBD，连结CE，则CEBD，AEC60.作AOEC，则AO面BCD，连结BO，ABO即为AB与面BCD所成的角设ABa，则AEa，AOAEsin60aa.sinABO.ABOarcsin.答案：arcsin16(2010东北三校一模)如图8，将B，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角BACD，若，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：图8ACMN；DM与平面ABC所成的角是；线段MN的最大值是，最小值是；当时，BC与AD所成的角等于.其中正确的说法有_(填上所有正确说法的序号)解析：如图9(1)，ACBM，ACMDAC平面BMD，所以ACMN，正确；因为，且线与面所成角的范围为0，所以DM与平面ABC所成的角不一定是，错；BMDM，MNBD，BMD，所以MNBMcoscos，所以线段MN的最大值是，最小值是，正确；当时，过C作CEAD，连接DE(如图9(2)，且DEAC，则BCE(或补角)即为两直线的夹角，BMDM，BMDM，BD2，又DEAC，则DE平面BDM，DEBD，BE21，cosBCE0，所以错图9答案：三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17(12分)(2010石家庄质检)如图10，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、A1D1的中点，G、H分别为BC、B1D1的中点图10 (1)指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；(2)求异面直线GH与DF所成角的大小解：(1)连结EH，易知EHBG且EHBG，所以四边形EHGB为平行四边形，所以GHBE，所以GH平面EFDB.(2)取BD中点M，连结MF，易知MFBE，所以MFGH，所以DFM为异面直线GH与DF所成的角，设正方体棱长为2，可得，MF，DF，MD，在三角形MDF中，由余弦定理可得cosMFD，异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos.18(12分)如图11，在ABC中，ACBC1，ACB90，点D在斜边AB上，BCD(0)把BCD沿CD折起到BCD的位置，使平面BCD平面ACD.图11 (1)求点B到平面ACD的距离(用表示)；(2)当ADBC时，求三棱锥BACD的体积解：(1)作BECD于E.平面BCD平面ACD，BE平面ACD.BE的长为点B到平面ACD的距离BEBCsinsin.图12 (2)BE平面ACD，CE为BC在平面ACD内的射影又ADBC，ADCD(CE)ACBC1，ACB90，D为AB中点，且.SACDACBC，BEsin.VBACD.19(12分)(2009湖北联考)如图13，长方体AC1中，AB2，BCAA11.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点(1)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH平面FGB1；(2)求四面体EFGB1的体积图13解：(1)取A1D1的中点P，D1P的中点H，连接DP、EH，则DPB1G，EHDP，EHB1G，又B1G平面FGB1，EH平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1A1D1时，EH平面FGB1.20(12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，ABCC1a，BCb.(1)设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：EF平面ABC；(2)求证：A1C1AB；(3)求点B1到平面ABC1的距离图14解：(1)E，F分别为AB1，BC1的中点，EFA1C1.A1C1AC，EFAC，EF平面ABC.(2)ABCC1，ABBB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形，连结A1B，则A1BAB1.又AB1BC1，AB1平面A1BC1，AB1A1C1.又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1，A1C1AB.(3)A1B1AB，A1B1平面ABC1，A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离，过A1作A1GAC1于G.AB平面ACC1A1，ABA1G，从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，求得A1G.21(12分)(2009唐山二模)如图15，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面所成的角为60，ABBC，A1AA1C2，ABBC，侧面AA1C1C底面ABC.(1)证明：A1BA1C1；(2)求二面角ACC1B的大小；(3)求经过A1、A、B、C四点的球的表面积解：取AC中点为O，由A1AA1C，ABBC，知A1OAC，BOAC，又平面AA1C1C平面ABC，所以A1OOB.建立如图16所示的坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，B(1,0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)(1)(1,0，)，(0,2,0)，0，A1BA1C1.(2)设n(x，y，z)为面BCC1的一个法向量(1,1,0)，(0,1，)，又nn0，取n(，1)又m(1,0,0)是面ACC1的法向量，cosm，n.由点B在平面ACC1内的射影O在二面角的面ACC1内，知二面角ACC1B为锐角，所以二面角ACC1B的大小为arccos.(3)设球心为O1，因为O是ABC的外心，A1O平面ABC，所以点O1在A1O上，则O1是正三角形A1AC的中心则球半径RA1A，球表面积S4R2.22(14分) (2009北京东城模拟)如图17所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，且PA2，E为PD中点图17 (1)求证：PA平面ABCD；(2)求二面角EACD的大小；(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：底面ABCD为正方形，BCAB，又BCPB，BC平面PAB，BCPA.同理CDPA，PA平面ABCD. (2)建立如图18所示的空间直角坐标系Axyz，图18则A(0,0,0)，C(2,2,0)、E(0,1,1)设m(x，y，z)为平面AEC的一个法向量则m，m.又