变量在数学建模和数学实验中的应用

page1,德州学院数学科学学院数学建模暑期培训教案,主讲人：高秀莲,数学建模实例,先看一个发生在我国的实例，2000年全国人口普查，挨家挨户实查一年多（约5亿人年），查出是12.66亿人，若用微分方程，一个大学生只花5分钟（5人分），算出是13.45亿人。两者结果相差不多（实查和预测相差8000万人，占6.4%），但效率有天壤之别，前者又费时又慢（约5亿人年），后者又省又快（5人分）。这是什么道理呢？,page2,可见，数学能够作为预测或验证现实的一种又省又快的方法。,常用的建模方法,page3,1.概率统计建模：数据统计描述、方差分析（单因素、多因素）、回归分析（线性、非线性、多元线性、逐步回归）、聚类分析等。2.优化问题建模：非线性、多目标、动态规划、图论。,3.现代优化算法：蚁群算法、贪心算法、神经网络、遗传算法。4.数学实验-MATLAB、LINGO。,参赛队应具备的能力,page4,基本知识：高等数学+线性代数，概率论与数理统计，数学规划（线性规划、整数规划、0-1规划、多目标规划、图论、排队论等）、数值计算方法、常微分方程等；能力要求：建模能力，编程或实验能力，论文写作能力，团结协作能力、文献检索与阅读能力等（选读优秀论文，掌握论文写作方法，提高写作技能）。,热点建模问题,房价问题网瘾问题,网购问题高等教育问题金融危机问题钓鱼岛、南海战争博弈问题环境污染控制问题（雾霾问题、地下水、重金属等）食品安全问题城镇化问题、计划生育问题、老龄化问题、交通堵塞问题大数据问题,历年本科组赛题列表,历年本科组赛题列表,命题特点,建模方法高度综合现实性和导向性：问题和数据大多来源于工程、科技、生活、管理等科研、工程实际问题，问题的解决有一定现实意义和科研导向。规模性：大规模变量或海量数据-必须借助数学软件数据结构的复杂性：数据属性结构的复杂性缺失或异常数据问题-数据的真实性不是所有数据都有用，如何筛选本身就是数学建模,赛题中涉及到的数学方法,空间与解析理论、线性代数、微积分概率与统计-方差、回归、时间序列、相关分析、聚类或判别分析运筹学或数学规划-线性、整数、0-1、非线性、多目标规划图论与网络优化多因素综合评价数值计算方法-数值微分，数值积分，插值与拟合等差分与微分方程等机理分析建模方法排队论、对策论、决策论其他：模糊数学、随机规划与决策、随机模拟、灰色系统理论、优化算法（神经网络、遗传算法、蚁群算法等）,看上去简单、易理解的题目，一般并不容易取得奖项；看上去不好理解的题目，反而有可能取得好的奖项；尽早确定，避免犹豫不决，浪费时间-取胜关键：静下心来，仔细阅读，通过查阅文献和相关资料，把问题想明白，并用数学语言严谨第表达清楚。国家一等奖的名额分配平均分散到各题,如何选题,耐心、细心题目注意仔细阅读题目，找出并标注有关的关键词或关键句子，仔细体会可能引导建模方向与问题目的的一切词汇阅读题目通常会伴随竞赛全过程确定目标要求找出所有与建模目的相关的有关因素，理清各因素之间的关联关系或机理联系，确定建模目标的基本结构和建模方法分清建模的基本要求、难点或关键点通过查阅文献和阅读相关图书或专业资料，寻求问题难点和关键点的解决策略或方法创新亮点,题意理解,先宏观、再微观，先主体，后细节；分清主次，逐次进行。先主要因素，后次要因素不断选择、不断论证、不断完善关键点、难点的解决：逐步清晰化-亮点现实与理想之间的平衡，简单与复杂之间的博弈：模型的解应符合现实要求，即具有可行性，最理想的解不一定具有可操作性；模型并不一定越复杂越好，但过于简化有可能失真，复杂程度的高低应视问题的需要。数学结构在不断论证中，建模思路逐步展开和完善,建模方向把握渐次清晰过程,注重节奏与效率：1确立分时段的进展目标，合理分工2提倡讨论，但要提高讨论的有效率，避免无意义争论；3以成效论优劣论文写作1论文写作应视为竞赛的中间过程，避免等一切做完后再着手写作2论文写作自始至终应由一个队员执笔，避免多人执笔出现混乱现象,建模方向把握渐次清晰过程,端正态度竞争意识，追求卓越，锲而不舍态度是实力发挥的保证平和心态，冷静思考应避免的问题：投机意识和学术不端参赛一次，受益终生创新把每个细节处理到极致，就是创新。创新体现在建模各个环节中,建模方向把握渐次清晰过程,建模论文的评价,2020/5/29,1、假设的合理性关键假设,并对假设的合理性进行解释,文中引用。2、建模的创造性鼓励创新,但要切实,不要离题搞标新立异。3、结果的正确性一般是没有标准答案的，但要自圆其说，好模型的结果一般比较好,但不一定最好。4、表述的清晰性表述清晰、结构严谨、逻辑性强。撰写论文是让他人阅读的，前后表述应该是一个逻辑论证过程，即是一个讲理的过程。要让人知其理，明其理。,如何撰写一篇高质量的竞赛论文,2020/5/29,1、摘要写作：摘要是整篇文章的高度浓缩和精华，是整篇论文的重中之重。在摘要中应体现：针对每个问题作了何种分析，基于分析做出了哪些关键假设，采用了何种建模方法，如何对模型参数进行识别（方法），建立了什么模型；主要结果是什么；有什么特色和创新点，以及其它工作。注意摘要中尽量不要出现公式、图形或表格，文字精练，表达准确。,2020/5/29,2、论文写作：要求层次分明，重点突出论文是所有工作的完整体现，力争将你们的工作和创造性成果或新的研究结果都充分地反映出来要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、格式规范、层次分明，通过大小标题分为若于个逻辑段落，让评委各取所需，一目了然。不要给评委留下更多的疑问和猜测。实事求是，不要过分夸张。,如何撰写一篇高质量的竞赛论文,关于论文写作的评价,规范性数学表达的严谨性和完整性前后自圆其说培养结果检验意识：误差分析、稳定性分析、灵敏度检验、假设检验等,竞赛论文评阅中常见的问题,数学建模是一个严谨的分析、论证、检验和应用过程，建模论文前后应自圆其说。问题分析不透彻，不管条件与具体问题的差异，直接引用或套用建模方法，缺乏必要的分析、观察、论证或假设检验过程。整篇论文没有明确的数学模型，只是根据赛题的数据，利用软件计算，“凑”出结果，结果正确与否无论证；罗列一系列假设或模型，既不作合理性和正确性分析和评价，又不做模型优选和正确性评价，希望碰上“参考答案”或“评阅思路”,建模方法不可信：吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题；就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的方法，导致错误；对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；撰写论文时间过于仓促，导致论文过于简单，该交代的内容被省略；,竞赛论文评阅中常见的问题,写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献);无参考文献，或罗列一批参考文献，但在论文正文中无引用公式、符号、图形、表格不规范现象突出，主要体现在键盘公式、图形或表格无标题和编号、计算结果直接屏幕截图队员之间合作精神差，孤军奋战；依赖心理重，甚至违纪（指导教师、网络）,竞赛论文评阅中常见的问题,0-1变量在数学建模和数学实验中的应用,page22,数学建模在实际问题和数学理论之间架起了桥梁，发挥了巨大的作用，而数学模型的建立和求解需要实验。许多数学模型是抽象的，只有通过数学实验才能迅速进行数值求解和定量分析，进一步地完善和构建数学模型。所谓“数学实验”就是利用计算机系统作为研究工具，以数学理论作为实验原理，以数学素材作为实验对象，以简单的对话方式或复杂的程序方式作为实验形式，以数值计算、符号演算、几何图形演示作为实验内容，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要实验方法，以辅助学数学、辅助用数学或辅助作数学为实验目的，以实验报告为最终形式的上机实践活动。数学素质是数学知识和能力的综合体现，数学素质除了包含抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力外，还应包括数学建模能力与数值计算能力，即会“用数学”解决实际问题，会用计算机进行科学计算，而数学实验正是这种能力的很好体现和应用。,0-1变量在数学建模和数学实验中的应用,page23,近几年的数学建模竞赛题大都来自于工程技术与社会经济生活，每一道题都紧扣当前社会热点，而每年都有这样一类题：给定的人力、物力、财力怎样使得效益最大或给定的任务，怎样用最少的人力、物力、财力去解决它即属于“运筹学中的规划论”部分，更确切地说，属于“规划论中的整数规划和混合整数规划”，如2003年的A题：SARS的传播、B题：露天矿生产的车辆安排；2004年的A题：奥运会临时超市网点设计、B题：电力市场的输电阻塞管理；2005年的A题：长江水质的评价和预测、B题：DVD在线租赁；2006年的A题：出版社的资源配置；2007年的B题：“乘公车，看奥运”；2009年的B题：眼科病床的合理安排问题；2011年的B题：交巡警服务平台的设置与调度问题；2012年的B题：太阳能小屋的设计问题；2013年的B题：碎纸拼接问题。,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）,（非）线性规划问题的数学模型,规划问题,page24,我们遇到的实际中的整数规划所涉及的重要问题有：(1)运作问题(OperationalProblems)例如：货物的分配、生产调度、机器排序、运输问题等。(2)计划问题(PlanningProblems)例如：资金预算、选址问题、证券组合分析等。(3)设计问题(DesignProblems)例如：通信和交通网络设计、超大规模的集成电路设计、自动化生产线设计等。其特点都是对资源进行有效管理，使其发挥尽可能大的效益。传统的计算整数规划的方法有：“割平面法(CuttingPlaneAlgorithm)”和“分支定界法(BranchandBoundMethod)”。但是对于变量比较多的整数规划问题或是混合整数规划问题，这些方法就不太实用了。目前比较简单的方法就是引入0一l逻辑变量，使得约束条件线性化，光滑化后用LINDOL1NG0来解决。,常规的整数规划的求解方法,page25,01变量的应用,page26,这类问题常常出现在计划问题中的选址问题和证券组合分析中，例如：在A1、A2、A3处建厂至多选择两个，则可引入0-1变量，问题化为，其中。,0-l变量在含有相互排斥的计划问题中的应用,page27,对于这类相互矛盾的又必须同时出现在模型中的互斥约束，可以通过引入0-1变量及一个很大正数M，化为,可以看出当y=0时(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1时(2)式起作用，(1)式自然成立。,在建立数学模型的时候，有时会遇到相互矛盾的约束条件，而模型只能是二者选择其一，例如：与是相互矛盾的，显然不能同时将他们直接放在模型中，因为这两个矛盾的约束案件的交集是空集，模型将无解，但是问题却需要同时考虑这对矛盾的约束。,0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用,page28,更一般地,page29,0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用,若n个约束条件,中只有k个起作用，可以通过引入0-1变量及一个很大正数M，化为,其中,表明个约束条件中有n-k个的右端项为，,为自然成立不起约束作用，而只有k个约束条件起作用。,约束条件的右端项可能是r个值中的某一个，,page30,0-1变量在含有相互排斥的约束条件的问题中的应用,即,则定义,则模型可为：,我们经常能遇到含有固定费用的优化问题，尤其在存储问题中，经常含有固定费用和可变费用两部分。这类含有固定费用的问题一般不能用线性规划来表述，但是经过引入01变量可以化为混合整数规划。例如用表示产品j的生产数量，其生产费用函数通常可表示,page31,0-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用,其中是与产量无关的生产准备费用。若问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小，即求为了表达费用函数,中的两个式子，引入01变量满足,page32,0-1变量在含有固定费用的函数问题中的应用,现引入一个任意大正数M，则上述约束可表为：,则模型可为：,page33,0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解,考虑数学模型,满足以下约束条件：,(3)下等式至少有一个成立：,其中,将此问题归结为混合整数规划并求解。,page34,0-1变量在模型中的应用及其LINGO求解,解：引入0-1变量,则模型化为：,page35,利用LINGO求解,model:min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2;x1-1