权重的确定方法汇总

一、指标权重的确定1.综述目前关于属性权重的确定方法很多，根据计算权重时原始数据的来源不同，可以将这些方法分为三类：主观赋权法、客观赋权法、组合赋权法。主观赋权法是根据决策者（专家）主观上对各属性的重视程度来确定属性权重的方法，其原始数据由专家根据经验主观判断而得到。常用的主观赋权法有专家调查法（Delphi法）、层次分析法（AHP ）106-108、二项系数法、环比评分法、最小平方法等。本文选用的是利用人的经验知识的有序二元比较量化法。主观赋权法是人们研究较早、较为成熟的方法，主观赋权法的优点是专家可以根据实际的决策问题和专家自身的知识经验合理地确定各属性权重的排序，不至于出现属性权重与属性实际重要程度相悖的情况。但决策或评价结果具有较强的主观随意性，客观性较差，同时增加了对决策分析者的负担，应用中有很大局限性。鉴于主观赋权法的各种不足之处，人们又提出了客观赋权法，其原始数据由各属性在决策方案中的实际数据形成，其基本思想是：属性权重应当是各属性在属性集中的变异程度和对其它属性的影响程度的度量，赋权的原始信息应当直接来源于客观环境，处理信息的过程应当是深入探讨各属性间的相互联系及影响，再根据各属性的联系程度或各属性所提供的信息量大小来决定属性权重。如果某属性对所有决策方案而言均无差异（即各决策方案的该属性值相同），则该属性对方案的鉴别及排序不起作用，其权重应为0；若某属性对所有决策方案的属性值有较大差异，这样的属性对方案的鉴别及排序将起重要作用，应给予较大权重.总之，各属性权重的大小应根据该属性下各方案属性值差异的大小来确定，差异越大，则该属性的权重越大，反之则越小。常用的客观赋权法109-110有：主成份分析法、熵值法111-112、离差及均方差法、多目标规划法等。其中熵值法用得较多，这种赋权法所使用的数据是决策矩阵，所确定的属性权重反映了属性值的离散程度。客观赋权法主要是根据原始数据之间的关系来确定权重，因此权重的客观性强，且不增加决策者的负担，方法具有较强的数学理论依据。但是这种赋权法没有考虑决策者的主观意向，因此确定的权重可能与人们的主观愿望或实际情况不一致，使人感到困惑。因为从理论上讲，在多属性决策中，最重要的属性不一定使所有决策方案的属性值具有最大差异，而最不重要的属性却有可能使所有决策方案的属性值具有较大差异。这样，按客观赋权法确定权重时，最不重要的属性可能具有最大的权重，而最重要的属性却不一定具有最大的权重。而且这种赋权方法依赖于实际的问题域，因而通用性和决策人的可参与性较差，没有考虑决策人的主观意向，且计算方法大都比较繁锁。从上述讨论可以看出，主观赋权法在根据属性本身含义确定权重方面具有优势，但客观性较差；而客观赋权法在不考虑属性实际含义的情况下，确定权重具有优势，但不能体现决策者对不同属性的重视程度，有时会出现确定的权重与属性的实际重要程度相悖的情况。针对主、客观赋权法各自的优缺点，为兼顾到决策者对属性的偏好，同时又力争减少赋权的主观随意性，使属性的赋权达到主观与客观的统一，进而使决策结果真实、可靠。因此,合理的赋权方法应该同时基于指标数据之间的内在规律和专家经验对决策指标进行赋权。目前，这种确定权重的主客观信息集成方法的研究已经引起了重视，并且得到了一些初步的研究成果113-115。本文在权重的选取上采用了第三类赋权法，即主客观综合赋权法（或称组合赋权法）。主客观组合赋权法的两种常用方法是：“乘法”集成法、“加法”集成法。其公式分别是， （4-3）其中表示第i个指标的组合权重；，分别为第i各属性的客观权重和主观权重。前者的组合实质上是乘法合成的归一化处理，该方法使用于指标个数较多、权重分配比较均匀的情况。后者实质上是线性加权，称为线性加权组合赋权方法。当决策者对不同赋权方法存在偏好时，能够根据决策者的偏好信息来确定。2有序二元比较量化法本文选用的方法是利用人的经验知识的二元比较量化原理与方法（二元对比模型）去确定主观权重116-120。对于定量目标相对优属度的求解，权重的确定需要将方案集X换成目标集G，模糊概念优越性变换为重要性，人的经验知识换成决策者的意向。但多目标系统决策要求系统目标权重值之和等于“1”，故在系统目标对重要性的相对隶属度的基础上还需要进行归一化。 将m个目标进行二元比较重要性定性排序，经过一致性检验判断与调整得到排序一致性二元对比标度矩阵E。根据标度矩阵E各行元素值之和，从大到小排列，得到关于优的排序次数，再以排序第1位的目标作为标准，与其他目标进行重要性程度的比较，可得非归一化目标权向量。然后进行归一化计算，即可得目标权向量式：满足3熵值法在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。根据熵的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度数据越离散，数据的发生越不容易预测，不确定性越大，故可以用熵值来判断离散程序。，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。人们在决策中获得信息的多少和质量，是决策的精度和可靠性大小的决定因素之一。信息论中，信息熵是系统无序程度的度量，信息是系统有序程度的度量，两者绝对值相等，符号相反。熵是信息论中最重要的基本概念，它表示从一组不确定事物中提供信息量的多少。在多指标决策问题中，某项指标的变异程度越大，信息熵越小，该指标提供的信息量就越大，那么在方案评价中所取得的作用就越大，该指标的权重熵值越大，提供的信息越多，对输出影响越小，因此权重就越小。也就越大；反之，某指标的变异程度越小，信息熵越大，该指标所提供的信息量越小，那么该指标的权重也就越小。根据各指标值的变异程度，利用信息熵计算各指标的权重121-125。熵技术就是利用决策矩阵和各指标的输出熵来确定各指标的权系数的一种方法。若考虑n个方案，m个指标的多指标决策问题的决策矩阵。首先，为了便于计算和优选分析，消除指标间由于量纲不同而带来比较上的困难，可利用标准化公式（4-1）（4-2）将决策矩阵X转变成为标准化决策矩阵R=。定义1（评价指标的熵）：在有n个被评价对象，m个评价指标的评估问题中，第i个评价指标的熵定义为什么这么定义？为： i1,2,m ；j1,2,n其中K=，；并假定，当0，。由于，所以，也由此可知，定义2（评价指标的熵权）：在（m，n）评价问题中，第i个评价指标的熵权将一列数同比例缩放后化为其和为1的形式，常用的方法是用每一个数除以所有数之和。定义为：由上述定义以及熵函数的性质可以得到如下熵权的性质：（1）各被评价对象在指标i上的值完全相同时，熵值达到最大值1，熵权为0。这也意味着该指标向决策者未提供任何有用信息，该指标可以考虑被取消。（2）当各被评价对象在指标i上的值相差较大、熵值较小、熵权较大时，说明该指标向决策者提供了有用的信息。同时还说明在该问题中，各对象在该指标上有明显差异，应重点考察。（3）指标的熵越大，其熵权越小，该指标越不重要，而且满足且（4）作为权数的熵权，有其特殊意义。它并不是在决策或评估问题中某指标的实际意义上的重要性系数，而是在给定被评价对象集后各种评价指标值确定的情况下，表示各指标的在竞争意义上的相对激烈程度系数。（5）从信息角度来考虑，它代表了该指标在该问题中，提供有用信息量的多寡程度。（6）熵权的大小与被评价对象有直接关系。熵值法确定各指标的权系数步骤如下：1）数据的非负数据化处理：由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移：对于越大越好的指标：+1平移 （4-1）对于越小越好的指标：+1 （4-2）为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为rij。2）由R=计算第i项指标下第j个方案占该指标的比重 i1,2,m；j1,2,n； （4-4）3）第i个评价指标输出的熵 j1,2,n； （4-5）4）各目标的熵权系数（1-Hi）表示熵权，熵权与熵成反比。该步的目的是对权重同度量化。即该指标的熵权除以所有指标熵权之和，目的是为了保证所有权重之和为1. i1,2,m （4-6）该方法的两个缺点： 缺乏各指标之间的横向比较； 各指标的权重随着样本的变化而变化，权数依赖于样本，在应用上限制。4.层次分析法（AHP）1概述层次分析法，是应用网络系统理论和多目标综合评价方法的一种层次权重决策分析方法。层次分析法本质是一种决策方法，所谓决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案，详见运筹学。层次分析法可应用于决策、评价、分析、预测。2层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下五个步骤层次分析法的主要运算步骤包括：建立层次结构模型构造判断矩阵；用和积法或方根法等求得特征向量W（向量W的分量Wi即为层次单排序）；计算最大特征根max；计算一致性指标CI、RI、CR并判断是否具有满意的一致性。： 2.1 建立层次结构模型 2.2 构造判断矩阵 2.3 一致性检验 2.4 计算各层权重 2.5 总体一致性检验下面我们依次分析：2.1建立层次结构模型层次分析法强调决策问题的层次性，我们必须认清决策目标与决策因素之间的关系。简单地说，就是处理各个因素之间的包含关系，再把它们放在一个层次结构图中。一般地，我们把层次结构图分成3个层次：目标层：决策的目的、要解决的问题准则层：考虑的因素、决策的准则。方案层：决策时的备选方案。作为本文的例子，我们以选择旅游地作为问题，演示层次分析法的过程。选择旅游地是决策目标那么应放在目标层。同时我们在选择旅游地时会考虑到不同的因素，如景色、费用等，这些作为准则层。最后，我们把各个景点纳入考虑的范围，就有方案层。值得注意的是分层取决于问题本身，所以决策目标不同时，层次结构图就可能大不相同。这时候，就可能出现多个层次。2.2构造判断矩阵建立层次结构图，之后我们就必须讨论同一层因素的权重。仍用上述例子，这时我们要得出c1,c2,c3对O的影响权重，可把权重记为：。我们可以直接查找资料，或咨询有关专家的方式得到w。可是，当影响因素很多时，权重就非常难估计，而且常常不容易被别人接受。Santy等人提出一致矩阵法，即：2.2.1 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。2.2.2 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。这意思很简单，如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，这时我们就可以说a,b,c三者的权重为6：3：1，归一化之后就有0.6：0.3：0.1。也就是先两两地进行比较权重，最后我们再得到总的权重。具体情况是这样的，我们用1，2，3，49表示两个因素的权重的相对权重比。如下表：这时我们就可以得到判断矩阵，也就是每两个因素的权重比： （1）假设我们得到的例子中判断矩阵是：（2）如A(2,1)就表示，第一个因素与第二个因素的权重比。有了判断矩阵，我们就可以得到各个因素的权重。在（1）式中，右乘w就有 （3）也就是说我们只要令(A-n)w=0和|w|=1，就可以算去w。如a,b,c的判断矩阵为令(A-3)w=0,就有w=0.6 0.3 0.12.3一致性检验仔细查看（2），其实是有问题的。判断矩阵可能会出现不一致的情况，这时（3）不成立。如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，然后说c比a重要2倍，这就有问题了。这就是所谓的不一致若Aik*Akj=Aij，则A为一致阵现象。（2）就是出现了这一现象。那么，这时权重又如何确定。学过线性代数的话，我们知道（3）中,n是A的特殊值，而w是A的特殊向量。在出现不一致的情况下，Saaty等人建议用对应于最大特征根N阶正互反阵A的最大特征值大于等于n，当且仅当特征值为n时，A为一致阵。l的特征向量作为权向量w ，即由于连续的依赖于aij，则 比n 大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 -n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重定义随机一致性指标 RI：它的值与n的关系如下：定义一致性比率 ：一般，当一致性比率0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。一致性检验也就是利用一致性指标和一致性比率0.1，及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。我们分析一下（2）：这里用一下matlab来求特征值常用方法为：和积法或方根法。在AHP层次分析法基础教程中有详细说明，A= 1, 1/2, 4, 3, 3 2, 1, 7, 5, 5 1/4, 1/7, 1, 1/2, 1/3 1/3, 1/5, 2, 1, 1 1/3, 1/5, 3, 1, 1;u,v=eig(A);u1=-u(:,1)/norm(u(:,1)v1=v(1)CI=(v1-5)/(5-1);RI=1.12;CR=CI/RI求得A的特殊向量是CR0.1，所以A在容许范围之内。这时权重是w=u1。2.4计算各层权重我们最终目的是要确定P1,P2,P3对0的影响权重。我们先从C1开始，计算出P1,P2,P3的权重，记为 ;同理算出C2权向量wc2,C3的权向量wc3。再回到O，计算出 。这时P1对0的影响权重就是k1=wp1*wo1+wp2*wo2+wp5*wo5。用矩阵的语言来说，说是P1,P2,P3对0的影响权重为：K=WC*WO其中，WC=wc1 wc2 wc3 wc4 wc5。2.5总体一致性检验定义总体一致性比率：其中CIi是下层的一致性指标，RIi是下层的随机一致性指标，ai是权重。同样的，如果CR3时，判断矩阵往往不一定是一致阵，此时，应用层次分析法就显得较困难。(2)实际应用过程中，不同专家可能建立了不同的判断矩阵，经检验都是完全一致阵，但分别计算得出的权重向量排序却不一致，甚至相差悬殊。(3)该方法计算量大，当矩阵阶数较大时，仅建立判断矩阵就要进行n*(n-l)/2次的两两元素的比较判断，而心理学实验表明，当被比较的元素个数超过9个时，判断就不准确了。李斌给出了一种将AHP法和DelPhi法相结合确定权重的方法11（李斌.层次分析法和特尔菲法的赋权精度与定权.系统工程理论与实践，1998，12:75-79）马云东利用最优传递矩阵对传统的AHP法进行了改进，提出了改进的层次分析法(IAHP)11（马云东，胡明东.改进AHP法及其在多目标决策中的应用.系统工程理论与实践，1997，6:40-44），在介绍IAHP法在多目标决策中的应用时，该文提出由多个专家来确定各指标的权重，这种思想是很有用的，因为这样做可以提高指标赋权的科学性和准确性。但该文认为利用IAHP法求得的判断矩阵自然满足一致性要求，不需要进行一致性检验，这种说法是有一定问题的，因为IAHP法给出的判断矩阵的一致性是人为造成的结果，它本身可能己经不能完整反映专家原来的意见了。3.2客观赋权法客观赋权法的研究时间比较短暂，还很不完善，它不具有主观随意性，不增加对决策分析者的负担，决策或评价结果具有较强的数学理论依据。但这种赋权方法依赖于实际的问题域，因而通用性和决策人的可参与性较差，没有考虑决策人的主观意向，且计算方法大都比较繁锁。客观赋权法除了常用的最小二乘法和本征向量法以外，最大熵技术法、拉开档次法、熵权信息法、均方差法、变异系数法、离差最大化法、简单关联函数法。郭亚军等将客观赋权方法分为突出整体差异的赋权法和突出局部差异的赋权法。突出整体差异的赋权法主要有拉开档次法，突出局部差异的赋权法主要有均方差法和熵值法。3.2.1最大熵技术法熵是热力学中的一个名词，在信息论中又称为平均信息量，它是信息无序度的度量，信息熵越大，信息的无序度越高，其信息的效用值越小；反之，信息熵越小，信息的无序度越小，信息的效用值越大。在综合评估中，运用信息熵评估所获系统信息的有序程度及信息的效用值最大熵技术法适用于多指标决策问题各评价指标权重的确定。最大熵计数法就是是利用信息论中信息熵来确定多指标决策问题各评价指标权重。其基本原理是：对多指标决策问题，从m个可行方案中选最优方案，取决于这m个可行方案的各个指标向决策者提供的决策信息。谁提供决策的确定信息量大，谁对决策做的贡献就大，从而该指标的权重值也就越大。李因果在中国区域信息化评价中采用信息熵方法计算了客观权系数，其评价结论基本上符合区域信息化发展的事实（李因果，李新春.基于可变权系数的我国地区信息化测度模型及应用J.情报杂志，2006（2）：107-1-09.）。罗党、王伟、吕健以灰色系统理论和模糊数学为基础，提出了基于灰色模糊信息的多属性决策的概念（罗党，王伟，吕健.一类不确定性决策问题的变权分析方法J.郑州大学学报：理学版，2005（3）：100-103），融合变权和熵权误差分析法，构建了灰色模糊多属性决策问题的算法。基于信息熵的客观赋权不足之处在于，赋权时仅对指标列的组间信息传递变异进行了调整，而且对于异常数据太过敏感，实际应用中有时某些非重要指标经此法计算得出的客观权重过大，导致综合权重不切实际。为了避免这一缺陷，利用熵权系数时必须给每个指标的客观权附加一个范围限制。 3.2.2主成分分析法和因子分析法主成分分析法是通过因子矩阵的旋转得到因子变量和原变量的关系，然后根据m个主成分的方差贡献率作为权重，给出一个综合评价值。其思想就是从简化方差和协方差的结构来考虑降维，即在一定的约束条件下，把代表各原始变量的各坐标通过旋转而得到一组具有某种良好的方差性质的新变量，再从中选取前几个变量来代替原变量。而因子分析法是主成分分析法的推广，其基本思想是根据相关性大小对原有变量分组，使得同组变量相关性较高，不同组变量相关性较低，每组变量代表一个公共因子，对于所研究的问题通过最少个数的公共因子的线性组合来表示。相比主成分分析，其有利于明确各公因子的实际含义，同时可以考察每个因子数据的内部结构，并通过适用性检验来检测变量组的设定是否合理。主成分分析和因子分析法的局限性在于：这两种方法仅能得到有限的主成分或因子的权重，而无法获得各个独立指标的客观权重，而且当构成因子的指标之间相关度很低时，因子分析将不适用。3.2.3局部变权法李洪兴研究了决策评价中变权的性质与构造问题，提出了一般意义的变权原理：变权向量W(X)就是因素常权向量W和状态权向量S(X)经归一化后的Hardarmard乘积（李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架J.模糊系统与数学，1995（3）：1-7.）。刘文奇（刘文奇.一般变权原理与多目标决策J.系统工程理论与实践，2000（3）：1-11.）、李德兴、李洪兴（李德清，李洪兴.状态变权向量的性质与构造J.北京师范大学学报：自然科学版，2002（4）：455-461.）进一步研究了状态变权向量的性质与函数构造。综合评价的目的就是对评价对象的整体状态做出区分。积极的评价观认为，不仅要重视一个评价对象的各指标的全面发展、也应该重视某类特殊指标的优势发展。所以在评价中对某些因素的权重进行激励以提高其综合评价值是一个有效的手段。刘文奇研究了变权综合中的惩罚-激励效应，针对惩罚型变权、激励型变权和混合型变权提出了相应的变权函数（刘文奇.变权综合中的惩罚-激励效应J.系统工程理论与实践，1998（18）：41-47.）。惩罚型变权和激励型变权只对待定的因素采取惩罚或激励，而混合型变权则在一定程度上体现了“惩恶、扬善”的评价思想。这样的评价是与现实情况相吻合的。王晓玲在刘文奇的基础上又构建了一个局部状态变权（王晓玲.素质教育评价中的变权综合方法J.系统工程理论与实践，2000（4）：136-140.），她提出的变权公式只要给定一个合格水平，则就可以自动对权数进行惩罚式或者激励式调整。局部状态变权法的优点在于：既体现了评价指标的数据信息，反映了客观权重随着指标取值的渐变性，又能够在决策者偏好的基础上对部分内部指标权重进行激励和惩罚，这种变权方法有效地对评价目标或个体做出了明确区分。3.3综合集成