高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题 四种命题间的相互关系素材 北师大版选修2-1（通用）

四种命题间的相互关系一、知识要点：1、四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题2、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真、原命题为真，它的否命题不一定为真、原命题为真，它的逆否命题一定为真3、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法4、反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾在证明过程中，推出自相矛盾的结论5、两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题逆否命题二、典型例题讲解：类型一：已知一个命题写出另外三种命题例1把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题(1)解法一：原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.解法二：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方.（2）逆命题：若 x = 0或 y = 0，则 xy = 0否命题：若 xy 0 ，则 x 0且 y 0逆否命题：若 x 0且 y 0 ， 则 xy0.类型二：四种命题间的真假关系例2命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）否命题：若 x y 则 |x| |y| （假，如 x = 1, y = -1）逆否命题：若 |x| |y| 则 x y （真）例3写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x + y 5 则 x 3且y2 （真）逆否命题：若 x 3 或y2 则 x + y 5 （假）类型三：反证法例4若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a