人教版初中数学第二十七章相似知识点

第二十七章 相 似一、目标与要求1掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.2能根据相似比进行计算.3通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义， 领会特殊与一般的关系.4能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.6通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架 三、重点、难点1理解并相似三角形的判定与性质2位似图形的有关概念、性质与作图3利用位似将一个图形放大或缩小4用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换5把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律 四、中考所占分数及题型分布 本章会出1-2道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占15-20分.第二十七章 相 似27.1 图形的相似 1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形. 2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关. 3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况. 4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形.例1：1. 从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似？2. 从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似？6. 相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上，量的A、B两地的距离为10cm，求两地的实际距离. 解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm相当于实际10000000cm，即100km. A、B两地相距10cm，相当于1000km.例3：如图27.1-1，四边形ABCD和EFGH相似，求角、的大小和EH的长度x. 图27.1-1解：四边形ABCD和EFGH相似，他们的对应角相等，因此可得，在四边形ABCD中，四边形ABCD和EFGH相似，他们的对应边相等，由此可得，即解得27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定在ABC和ABC中，如果，我们就说ABC和ABC相似，记作ABCABC，k就是他们的相似比.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.例1.如图27.2-1，在ABC中，点D是边AB的中点，DE/BC，DE交AC于点E，ADE与ABC有什么关系？解：在ADE与ABC中，DE/BC过点E作EF/AB，EF交BC于点F.在BFED中，DE=BF，DB=EF又ADEEFCAE=EC=在此处键入公式。 在此处键入公式。 ADE和ABC的对应角相等，对应边的比相等ADEABC 1. 平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.例2.如图27.2-1，在ABC和ABC中，求证ABC和ABC相似.图27.2-1证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD=AB，过点D做DE/BC，交AC于点E，根据前面的结论可得ADEABC又，AD=AB，AE=AC同理DE=BCADEABCADEABC 2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.例 在ABC和ABC中，已知AB=6CM，BC=8CM，AC=10CM，AB=18CM，BC=24CM，AC=30CM，试证明ABC和ABC相似.证明： 故ABC和ABC相似.例.设ABC与DEF中，AB:DE=AC:DF，A=D，ABC与DEF有什么关系？解：把DEF放到ABC中与之重合.AB:DE=AC:DF，EF/BC.两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；例.根据下列条件判断ABC和ABC是否相似，并说明理由.（1），AB=7cm，AC=14cm，AB=3cm，AC=6cm（2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm解：（1），又ABCABC（2）ABC和ABC的三组对应边的比不等，它们不相似.例. 假设两个三角形的两组对应边的比相等，并且有一组角相等（不是这两边所夹的角），那么这两个三角形相似？解：情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）情形二：当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似.因为由勾股定理马上知道，两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 .情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.如图，ABC和ADC中，AB=AD，AC是两个三角形的公共边，C是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；例.如图，在ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC解：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC27.2.2 相似三角形应用举例27.2.3 相似三角形的周长和面积相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方如果ABC和ABC相似，相似比为k，那么因此从而由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例.如图27.2 ABCABC，相似比为k，他们的面积比为多少？分别作ABC和ABC的高AD和AD.ABD和ABD都是直角三角形，并且ABDABD相似三角形面积比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到相似多边形面积的比等于相似比的平方例27.2 在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BGAE于G，则EFC的周长为？解：在平行四边形ABCD中，AB/CD，又，故AD=DF=9，则CF=DF-DC=3，EABEFC，又BC=BE+CE=9，CE=3，BE=6.在RtBGE中，由勾股定理得，AB=BE=6，BGAE，AG=GE=2，则EA=AG+GE=4，故CF+CE+EF=3+3+2=8所以EFC的周长为8.例27.2 在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AE=2，ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为多少？解：，ADEACB，SADE=4，S四边形BCED=5，SACB=4+5=9，SADE：SACB=4：9，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2：3，即AE:AB=2:3，故AB=3.例 如图27.2 在ABCD中，AE:EB=2:3，DE交AC于点F.（1） 求AEF与CDF的周长比；（2） 如果SCDF=20cm2，求SAEF.解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AB/CD，AEFCDF，（2），=20，27.3 位似（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 （3） 掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图