陕西省榆林市2020届高三数学第二次模拟试试卷 文（含解析）

榆林市20202020年度高三第二次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算求解即可【详解】,故选：C.【点睛】本题考查复数的运算，熟记复数运算性质，熟练计算是关键，是基础题.2.已知集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得，代入集合B即可得.【详解】，即：，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.3.已知向量，满足，且与夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由数量积计算即可.【详解】=-6【点睛】本题考查数量积，熟记数量积的运算性质，熟练运算是关键，是基础题.4.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可【详解】f（x）f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x0时，f（x）0恒成立，排除A，D故选：C【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键5.九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在租的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤【答案】B【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.设，满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.7.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程【详解】由抛物线y22px（p0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，所以抛物线的标准方程为：y22x故选：B【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题8.为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容【详解】由程序框图的运行，可得：S0，i0满足判断框内的条件，执行循环体，a1，S1，i1满足判断框内的条件，执行循环体，a2（2），S1+2（2），i2满足判断框内的条件，执行循环体，a3（2）2，S1+2（2）+3（2）2，i3观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a99（2）99，S1+2（2）+3（2）2+100（2）99，i100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i100故选：A【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题9.已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正四面体ABCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MNAD，CMN或其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值【详解】如图，设正四面体ABCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN，M是AC的中点，MNAD，CMN或其补角是CM与AD所成的角，设MN的中点为E，则CEMN，在CME中，ME，CMCN，直线CM与AD所成角的余弦值为cosCME. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题10.已知，则的值城为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将f(x)化简为，利用二次函数求解即可.【详解】,又sinx，故选:D【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数性质，二次型函数求最值，熟记余弦二倍角公式，准确计算二次函数值域是关键，是中档题.11.在三棱柱中，已知底面为正三角形，平面，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两底面中心连线的中点为外接球球心，结合勾股定理不难求半径【详解】如图，O为底面中心，O为外接球球心，在正三角形ABC中求得OA6，又OO8，外接球半径OA10，S球4100400，故选：A【点睛】此题考查了正三棱柱外接球，熟记正棱柱的基本性质，熟练掌握正棱柱球心位置是解题关键，是基础题.12.已知函数是连续的偶函数，且时， 是单调函数，则满足的所有之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由yf（x+2）为偶函数分析可得f（x）关于直线x2对称，进而分析可得函数f（x）在（2，+）和（，2）上都是单调函数，据此可得若f（x）f（1），则有x1或4x1，变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足f（x）f（1）的所有x之积，即可得答案【详解】根据题意，函数yf（x+2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x2对称，又由当x2时，函数yf（x）是单调函数，则其在（，2）上也是单调函数，若f（x）f（1），则有x1或4x1，当x1时，变形可得x2+3x30，有2个根，且两根之积为3，当4x1时，变形可得x2+x130，有2个根，且两根之积为13，则满足f（x）f（1）的所有x之积为（3）（13）39；故选：D【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图象在处的切线斜率为，则_【答案】【解析】【分析】先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，得f（0）4，由此可求a的值.【详解】由函数得，函数f（x）的图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，.故答案为：4【点睛】本题考查了利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题14.不透明的袋中有个大小相同的球，其中个白球，个黑球，从中任意摸取个球，则摸到同色球的概率为_。【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，摸到同色球的概率p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.已知数列满足，若，则数列的前n项和_【答案】【解析】【分析】,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.【详解】由题为等差数列，,故答案为【点睛】本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.16.已知双曲线，左顶点为，右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线在第一象限的交点为， 且直线斜率为，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，利用直线的斜率，转化求解离心率即可【详解】把xc代入双曲线：1（a0，b0）得y，所以B（c，），又A（a，0），直线AB的斜率为，可得，可得a2+ac2c22a2，e1，e故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，准确计算B的坐标是关键，是基础题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，角，的对边分别为， ， 且的面积为.(1)求；(2)求的周长 .【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可【详解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2），所以，又，且 ，的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.18.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得出了如下数据：间隔时间（分钟）101112131415等待人数（人）232526292831调查小组先从这六组数据中选取四组数据作线性回归分析，然后用剩下的两组数据进行检验(1)求从这六组数据中选取四组数据后，剩下的的两组数据不相邻的概率：(2)若先取的是后面四组数据，求关干的线性回归方程；(3)规定根据(2)中线性回归方程预利的数据与用剩下的两组实际数据相差不超过人，则所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”，请判断(2)中所求的是 “最佳回归方程”吗？为了使等候的乘客不超过人，则间隔时间设置为分钟合适吗?附：对于一组组数据， 其回归直线 +的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，【答案】（1）；（2）见解析;（3）合适【解析】【分析】（1）由列举法剩下的两组有以下15种可能，相邻的有5种，间接法即可求；（2）由后四组数据求得及的值，可得线性回归方程，分别取x10，11求得y值，与原表格中对应的y值作差判断；（3）直接由1.4x+9.635，求得x值得答案【详解】（1）记这六组数据分别为剩下的两组有以下15种可能： ，；其中剩下的的两组数据相邻的有这种，故 (两组数据不相邻) .（2），关干的线性回归方程为当时，当时，故所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”；（3）由题1.4x+9.635，解x18.14,故间隔时间设置为分钟合适.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，准确计算是关键，考查计算能力，是中档题19.如图，在四棱锥中，平面 平面， .(1)证明 (2)设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出BAAD，BAPD，APPD，从而PD平面PAB，由此能证明PDPB（2）设AD2a，则ABBCAPa，PDa，得为等腰三角形，利用推得面积，进而求出a2，由此能求出四棱锥PABCD的体积【详解】(1) 平面平面 ，平面， 在中，由正弦定理可得： ，PDPA,又PAAB=A, 平面，.(2)取的中点，连结， ，设AD2a，则ABBCAPa，PDa,则，为等腰三角形，且底边BC上的高为，的面积为. 的面积为，解得：，四梭锥的体积为 .【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为求椭圆C的标准方程；若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出a的值，可得椭圆方程，（2）由题意M（m，n），N（m，），P（2，t），根据（2）0，可得y12n，由2，可得2m+2nt6，再根据向量的运算可得0，即可证明【详解】(1)由题意： ， 椭圆的标准方程为： (2)设， ，则， ，即,解 ， ，即：，得即直线的方程为： ， 设过点且垂直于直线为， 直线的方程： ，即直线过定点，即直线恒过椭圆的右焦点【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题21.已知函数.(1)讨论函数的单调区间；(2)证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，函数的单调增区间为，无减区间；当时，当，单增区间为上增，单调减区间为上递减。(2)解法1： ，即证，令，令，在，上单调递增，故存在唯一的使得，)在上单调递减，在上单调递增，当时， ， 时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，得证.解法2：要证： ，即证： ，令，当时，时，；所以在上单调递减，在上单调递增， ； 令，当 时，时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形