重庆市南开中学2020级高三数学文科12月月考试卷

重重庆庆市南开中学市南开中学20202020级级高三数学文科高三数学文科1212月月考月月考试试卷卷 2020.12.11 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1已知同向的单位向量为（ ）aa与),4 , 3( ABCD) 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 ( 2已知（ ）BAxyyBxyxA则,1|, 1| 22 AB), 1 ) 1,(), 1 CD0，1), 0 3已知点 P 分有向线段（ ）比为分有向线段则的比为PBAAB, 3 1 A4B4CD 4 1 4 1 4已知=（ ）baba则),65sin,25(sin),35sin,55(sin ABCD10sin 2 3 2 1 2 1 5在等差数列中，已知 S3=9，S9=54，则的通项为（ ） n a n a n a ABCD33 nannan32 nan1 nan 6的值是（ ）) 7 6 2 3 tan( A BCD 7 6 tan 7 6 tan 7 6 cot 7 6 cot 7给定两个向量的值等于（ ）xbabxaba则若),()(),1 , 2(),4 , 3( A3BC3D 2 3 2 3 8已知函数则函数的值域为（ ）), 3 2 , 0( 4 3 cossin 2 xxxy ABCD 4 7 , 4 1 2 , 1 1 , 4 3 2 , 4 1 9若（ ）) 4 tan(, 4 1 ) 4 tan(, 5 2 )tan( 则 ABCD 18 3 18 13 22 3 22 13 10要得到函数的图象，只需将函数的图象作下列变换，其中正确1) 4 2cos( xyxysin 的变换是（ ） A先纵坐标不变，横坐标缩短原来的再按向量（）平移, 2 1 1 , 8 B先纵坐标不变，横坐标缩短原来的再按向量（）平移, 2 1 1 , 4 C先按向量（）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的 1 , 4 , 2 1 D先按向量（）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的 1 , 8 , 2 1 11函数的单调递增区间为（ ）（其中）)2cos2(sinlog 5 . 0 xxyZk AB) 8 3 , 4 ( kk) 8 3 , 8 ( kk CD) 8 5 , 8 ( kk) 8 3 , 8 ( kk 12已知的非等腰三角形，且，则关于x的二次方程60BABC为bCAaBCcBA, 的根的个数叙述正确的是（ ）01|22 2 xbxca A无实根B有两相等实根C有两不等实根D无法确定 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡相应位置上。 13等比数列 。 564 ,25, 0,aaaaa nn 则中 14若向量的夹角为 30， 。ba,|2|, 4| , 3|baba则 15已知函数的)0 , 0, 0)(sin()(AxAxf 部分图象如图所示，则 )(xf 16在中，则下列不等式中正确的序ABC,BA 号为 。 （将你认为正确的都填上） BAsinsinBAcoscos BA2sin2sinBA2cos2cos 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （13 分）平面内给定三个向量) 1 , 4(),2 , 0(),2 , 3(cba （1）求 （2）若求实数k的值|ba ),2/()(backa 18 （13 分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，b+c=5 且bc60,7 Aa 求：b，c及 sin C 19 （12 分）已知函数).(2sin3cos2)( 2 aRaxxxf （1）若的单调递增区间；)(,xfRx求 （2）若的最大值为 4，求a的值，并指出这时x的值。)(, 2 , 0xfx时 20 （12 分）已知等差数列2, 8, 41 aaan中 （1）求数列的通项公式 n a （2）设 nnn SaaaS求|,| 21 （3）设是否存在整数 m，使得对于任意,*),( )12( 2 21nn n n bbbTNn an b 恒成立，若存在，求 m 的最大值，若不存在，说明理由 16 * m TNn n 均有 21 （12 分）某港口水的深度y（米）是时间，下面是某)(,):,240(tfytt记作的函数时单位 日水深的数据： T（时） 03691215182124 y（米） 10.013.09.97.010.013.010.17.010.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象。btAysin （）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；)(tfy （）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停 靠时，船底只需下碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5 米，如果该船 希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时 间）。 22 （12 分）已知函数的定义域为 R，对任意的，当)(xf)()()(, 212121 xfxfxxfxx都满足 x0时，f(x)0 （1）判断的单调性和奇偶性)(xf （2）是否存在这样的实数 m，当时，使不等式 2 , 0 对所有恒成立，如存在，求0)23( cossin 4 )cos)(sin2(2sin mfmf 出 m 的取值范围，若不存在，说明理由。 参考答案参考答案 一、选择题：DBDBD CABCA AC 二、填空题 135 142 15 16) 44 sin(4 x 17解：（1）)4 , 3()2 , 0()2 , 3(ba 543| 22 ba （2）)2, 34() 1 , 4()2 , 3(kkkcka )2 , 6()2 , 0()2 , 3(22 ab )2/()(bbcka )2(6)34(2kk 2k 18解：Aaccbacos2 222 bcbccbbccb3253)(7 222 又, 6bccbcb, 5 3, 2cb , sinsinC c A a 14 213 7 3 2 3sin sinc a A C 19解：（1）) 1() 6 2sin(22sin32cos1)(axaxxxf 当),( 2 2 , 2 2 6 2Zkkkx 即时，为增函数)( 6 , 3 Zkkkx )(xf （2）当时， 2 , 0 x 6 7 , 6 6 2 x ， , 2 1 ) 6 2sin( x 3,)(aaxf , 43 a 1a 当时，4)(xfZkkx, 2 2 6 2 即, 6 Zkkx 又, 2 , 0 x 6 x 20解（1）已知等差数列,中 n a ndnaa aa d aa n 210) 1( 2 14 , 2, 8 1 14 41 （2）当 2 121 9 2 ) 1( ,5nnd nn naaaaSn nn 时 )5(409 )5(9 4092)(,5 2 2 2 521 nnn nnn S nnSaaaSn n nn 时当 （3）由题意， ) 1( 1 )12( 2 nnan b n n ) 3 1 2 1 () 2 1 1 ( ) 1( 1 32 1 21 1 21 nn bbbT nn 1 1 1) 1 11 ( nnn 是一个单调增数列，要恒成立，只须，故 又因 n T 16 m Tn 16 1 m T 8 162 1 m m 的最大值为 7。mZm故, 21解：（）由已知数据，易知函数的周期 T=12)(tfy 振幅 A=3 b=10 10 6 sin3 t y （）由题意，该船进出港时，水深应不小于 5+6.5=11.5（米） 5 . 1110 6 sin3 t 2 1 6 sin t 解得，)( 6 5 2 66 2Zkktk )(512112Zkktk 在同一天内，取 k=0 或 1 或51t1713 t 该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，在港口内最多停留 16 个小时 22解： （1）令xxxxfyx 21 , 0)0(, 0令有 为奇函数故即 有 )(),()( 0)0()()()( xfxfxf fxxfxfxf 在 R 上任取0)(, 0, 212121 xxfxxxx由题意知则 是增函数故 则 )( 0)()()()()( 212121 xf xfxfxfxfxxf （2）要使0)23( cossin 4 )cos)(sin2(2sin mfmf , 2 1)( , 2 )( 2 2 )2( 2 )2( , 2 4 2)2( 2, 1 023 4 )2(1 2, 1 ) 4 sin(2 , 2 , 0 , 12sin,cossin 23 cossin 4 )cos)(sin2(2sin)( )23()23( cossin 4 )cos)(sin2(2sin 2 2 2 2 t tg t ttg t t t t t tt m t ttmt tm t tmt t tt mm