2014年考研数学一真题及答案详解

第 1 页 共 18 页 20142014 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题一、选择题 1 18 8 小题每小题小题每小题 4 4 分，共分，共 3232 分分 下列曲线有渐近线的是 （A）xxysin （B）xxysin 2 （C） x xy 1 sin （D） x xy 1 2 sin 2设函数设函数)(xf具有二阶导数，具有二阶导数，xfxfxg)()()(110 ，则在，则在, 10上（上（ ） （A）当当0 )( xf时，时，)()(xgxf （B）当当0 )( xf时，时，)()(xgxf （C）当当0 )(xf时，时，)()(xgxf （D）当当0 )(xf时，时，)()(xgxf 设)(xf是连续函数，则 y y dyyxfdy 1 1 1 0 2 ),( （） 2 1 0 0 1 1 0 1 0 xx dyyxfdxdyyxfdx),(),( （） 0 1 0 1 11 0 1 0 2 x x dyyxfdxdyyxfdx),(),( (） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 drrrfddrrrfd （） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 rdrrrfdrdrrrfd 若函数 dxxbxaxdxxbxax Rba 22 11 )sincos(min)sincos( , ，则 xbxasincos 11 （）xsin2 （）xcos2 （）xsin 2 （）xcos 2 行列式 dc dc ba ba 00 00 00 00 等于 第 2 页 共 18 页 （A） 2 )(bcad （B） 2 )(bcad （C） 2222 cbda （D） 2222 cbda 6设 321 , 是三维向量，则对任意的常数lk,，向量 31 k ， 32 l 线性无关是 向量 321 ,线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 7设设事件事件 A，B 想到独立想到独立，3050.)(,.)( BAPBP则则 )(ABP（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 8设连续型随机变量 21 XX ,相互独立，且方差均存在， 21 XX ,的概率密度分别为 )(),(xfxf 21 ， 随 机 变 量 1 Y的 概 率 密 度 为)()()(yfyfyfY 21 2 1 1 ， 随 机 变 量 )( 212 2 1 XXY ，则 （A） 2121 DYDYEYEY , （B） 2121 DYDYEYEY , （C） 2121 DYDYEYEY , （D） 2121 DYDYEYEY , 二、 填空题 （本题共二、 填空题 （本题共 6 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 满分分， 满分 24 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9曲面曲面)sin()sin(xyyxz 11 22 在点在点),(101处的切平面方程为处的切平面方程为 10 设)(xf为 周 期 为4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 2012,),()( xxxf， 则 )(7f 11微分方程0 )ln(lnyxyxy满足 3 1ey )(的解为 12设L是柱面1 22 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方 向，则曲线积分 L ydzzdx 13设二次型 3231 2 2 2 1321 42xxxaxxxxxxf ),(的负惯性指数是 1，则a的取值范 第 3 页 共 18 页 围是 14设总体 X 的概率密度为 其它其它, , ),( 0 2 3 2 2 x x xf，其中 是未知参数， n XXX, 21 是来自总体的简单样本，若 n i i XC 1 2 是 2 的无偏估计，则常数C = 三、解答题三、解答题 15 （本题满分 10 分） 求极限 )ln( )( lim x x dttet x t x1 1 1 2 1 1 2 【分析】 先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限 16 （本题满分 10 分） 设函数)(xfy 由方程06 223 yxxyy确定，求)(xf的极值 17 （本题满分 10 分） 设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefz x 满足 xx eyez y z x z 2 2 2 2 2 4)cos( 若 0000 )( ,)(ff，求)(uf的表达式 18 （本题满分 10 分） 设曲面)(:1 22 zyxz的上侧，计算曲面积分： dxdyzdzdxydydzx)()()(111 33 19 （本题满分 10 分） 设数列 nn ba ,满足 2 0 2 0 nn ba,， nnn baacoscos 且级数 1n n b收敛 （1） 证明0 n n alim； （2） 证明级数 1n n n b a 收敛 20 （本题满分 11 分） 第 4 页 共 18 页 设 3021 1110 4321 A，E 为三阶单位矩阵 （1） 求方程组0 AX的一个基础解系； （2） 求满足EAB 的所有矩阵 21 （本题满分 11 分） 证明n阶矩阵 111 111 111 与 n00 200 100 相似 22 （本题满分 11 分） 设随机变量 X 的分布为 2 1 21 )()(XPXP，在给定iX 的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),( iiU （1） 求Y的分布函数； （2） 求期望).(YE 23 （本题满分 11 分） 设总体 X 的分布函数为 00 01 2 x xe xF x , , ),( ，其中 为未知的大于零的参数， n XXX, 21 是来自总体的简单随机样本， （1）求)(),( 2 XEXE； （2）求的极大似然估计量 （）是否存在常数a，使得对任意的0 ，都有0 aP n n lim 第 5 页 共 18 页 参考答案：参考答案： 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 下列曲线有渐近线的是 （A） xxysin （B） xxysin 2 （C） x xy 1 sin （D） x xy 1 2 sin 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以 【详解详解】对于 x xy 1 sin ，可知 1 x y x lim 且 0 1 x xy xx sinlim)(lim ，所以有斜渐 近线 xy 应该选（C） 2设函数设函数 )(xf 具有二阶导数，具有二阶导数， xfxfxg)()()(110 ，则在，则在 , 10 上（上（ ） （A）当）当 0 )( xf 时，时， )()(xgxf （B）当）当 0 )( xf 时，时， )()(xgxf （C）当）当 0 )(xf 时，时， )()(xgxf （D）当）当 0 )(xf 时，时， )()(xgxf 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法 【详解详解 1】如果对曲线在区间 ,ba 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果 对区间上任意两点 21 xx , 及常数 10 ，恒有 )()()()( 2121 11xfxfxxf ，则曲线是凸的 显然此题中 xxx ,10 21 ，则 )()()( 21 1xfxf )()()(xgxfxf 110 ，而，而 )()(xfxxf 21 1 ， 故当 0 )(xf 时，时，曲线是凸的，即 )()()()( 2121 11xfxfxxf ，也就是 )()(xgxf ，应该选（C） 【 详 解详 解2 】 如 果 对 曲 线 在 区 间 ,ba 上 凹 凸 的 定 义 不 熟 悉 的 话 ， 可 令 xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 ，则 010 )()(FF ，且 第 6 页 共 18 页 )()(xfxF ，故当 0 )(xf 时，时，曲线是凸的，从而 010 )()()(FFxF ，即 0 )()()(xgxfxF ，也就是 )()(xgxf ，应该选（C） 设 )(xf 是连续函数，则 y y dyyxfdy 1 1 1 0 2 ),( （） 2 1 0 0 1 1 0 1 0 xx dyyxfdxdyyxfdx),(),( （） 0 1 0 1 11 0 1 0 2 x x dyyxfdxdyyxfdx),(),( (） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 drrrfddrrrfd （） sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 rdrrrfdrdrrrfd 【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图 【详解详解】积分区域如图所示 云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考 研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习 笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应 用或者加入 QQ 群 97240410！ 如果换成直角坐标则应该是 xx dyyxfdxdyyxfdx 1 0 1 0 1 0 0 1 2 ),(),( ， （A） ， （B） 两个选择项都不正确； 如果换成极坐标则为 sincossincos )sin,cos()sin,cos( 1 0 2 1 0 2 0 rdrrrfdrdrrrfd 应该选（D） 若 函 数 dxxbxaxdxxbxax Rba 22 11 )sincos(min)sincos( , ， 则 xbxasincos 11 （） xsin2 （） xcos2 （） xsin 2 （） xcos 2 第 7 页 共 18 页 【详解详解】注意 32 3 2 dxx ， 2 22 dxxdxxsincos ， 0 dxxxdxxx sincoscos ， 2 dxxxsin ， 所以 bbadxxbxax 4 23 2 2232 )()sincos( 所以就相当于求函数 bba4 22 的极小值点，显然可知当 20 ba, 时取得最小值，所 以应该选（A） 行列式 dc dc ba ba 00 00 00 00 等于 （A） 2 )(bcad （B） 2 )(bcad （C） 2222 cbda （D） 2222 cbda 【详解详解】 2 0 00 0 0 00 0 00 00 00 00 )()()(bcadbcadbcbcadad dc ba bc dc ba ad dc c ba b dc d ba a dc dc ba ba 应该选（B） 6设 321 , 是三维向量，则对任意的常数 lk, ，向量 31 k ， 32 l 线性无关是 向量 321 , 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解详解】若向量 321 , 线性无关，则 第 8 页 共 18 页 （ 31 k ， 32 l ） K lk ),(),( 321321 10 01 ，对任意的常数 lk, ，矩阵 K的秩都等于 2，所以向量 31 k ， 32 l 一定线性无关 而当 0 0 0 0 1 0 0 0 1 321 , 时，对任意的常数 lk, ，向量 31 k ， 32 l 线性 无关，但 321 , 线性相关；故选择（A） 7设事件设事件 A，B 想到独立，想到独立， 3050.)(,.)( BAPBP 则则 )(ABP （ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 【详解详解】 )(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030 所以 60.)( AP ， )(ABP205050.)(.)()( APABPBP 故选择（B） 云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的 考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更 多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入 QQ 群 97240410！ 8设连续型随机变量 21 XX , 相互独立，且方差均存在， 21 XX , 的概率密度分别为 )(),(xfxf 21 ， 随 机 变 量 1 Y 的 概 率 密 度 为 )()()(yfyfyfY 21 2 1 1 ， 随 机 变 量 )( 212 2 1 XXY ，则 （A） 2121 DYDYEYEY , （B） 2121 DYDYEYEY , （C） 2121 DYDYEYEY , （D） 2121 DYDYEYEY , 【详解详解】 )()()( 221211 2 1 2 1 YEEXEXdyyfyfyEY ， 2 2 2 121 22 1 2 1 2 1 2 1 EXEXdyyfyfyEY )()( ， 第 9 页 共 18 页 221 2 2121 212 2 1 22 2 2 11 22 11 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 DYXDXDXXEXDXD XEXEXEXEEXEXYEYEDY )()()()( )()()()()()( 故应该选择（D） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9曲面曲面 )sin()sin(xyyxz 11 22 在点在点 ),(101 处的切平面方程为处的切平面方程为 【 详 解详 解 】 曲 面】 曲 面 )sin()sin(xyyxz 11 22 在 点在 点 ),(101 处 的 法 向 量 为处 的 法 向 量 为 ),(|, ),( 1121 101 yx zz ，所以切平面方程为，所以切平面方程为 0110112 )()()(zyx ， 即即 012 zyx 10 设 )(xf 为 周 期 为4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 2012,),()( xxxf ， 则 )(7f 【详解详解】当 20, x 时， Cxxdxxxf 212 2 )()( ，由 00 )(f 可知 0 C ， 即 xxxf2 2 )( ； )(xf 为周期为 4 奇函数，故 1117 )()()(fff 11微分方程 0 )ln(lnyxyxy 满足 3 1ey )( 的解为 【详解详解】方程的标准形式为 x y x y dx dy ln ，这是一个齐次型方程，设 x y u ，得到通解为 1 Cx xey ，将初始条件 3 1ey )( 代入可得特解为 12 x xey 12设L是柱面 1 22 yx 和平面 0 zy 的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方 向，则曲线积分 L ydzzdx 【详解详解】由斯托克斯公式 RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx L 可知 xy D L dxdydxdydzdxdydzydzzdx 第 10 页 共 18 页 其中 1 0 22 yx zy : 取上侧， 1 22 yxyxDxy| ),( 13设二次型 3231 2 2 2 1321 42xxxaxxxxxxf ),( 的负惯性指数是 1，则a的取值范 围是 【详解详解】由配方法可知 2 3 22 32 2 31 3231 2 2 2 1321 42 42 xaxxaxx xxxaxxxxxxf )()()( ),( 由于负惯性指数为 1，故必须要求 04 2 a ，所以a的取值范围是 22, 14设总体 X 的概率密度为 其它其它, , ),( 0 2 3 2 2 x x xf ，其中 是未知参数， n XXX, 21 是来自总体的简单样本，若 n i i XC 1 2 是 2 的无偏估计，则常数C = 【详解详解】 2 2 22 2 5 3 2 dx x xXE)( ，所以 2 1 2 2 5 CnXCE n i i ，由于 n i i XC 1 2 是 2 的无偏估计，故 1 2 5 Cn ， n C 5 2 三、解答题 15 （本题满分 10 分） 求极限 )ln( )( lim x x dttet x t x1 1 1 2 1 1 2 【分析】 先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限 【详解详解】 2 11 2 11 1 1 1 1 1 22 2 1 21 1 2 2 1 1 2 x x o xx x xex x dttet x x dttet x x x x t x x t x )(lim )(lim )( lim )ln( )( lim 16 （本题满分 10 分） 第 11 页 共 18 页 设函数 )(xfy 由方程 06 223 yxxyy 确定，求 )(xf 的极值 【详解详解】 解：在方程两边同时对x求导一次，得到 0223 222 )()(xyyyxxyy ， （） 即 22 2 23 2 xxyy xyy dx dy 令 0 dx dy 及 06 223 yxxyy ，得到函数唯一驻点 21 yx, 在（）式两边同时对x求导一次，得到 （ 02234246 22 yyxxyyyxxyyyy)()( 把 0121 )( ,yyx 代入，得到 0 9 4 1 )(y ， 所以函数 )(xfy 在 1 x 处取得极小值 2 y 17 （本题满分 10 分） 设函数 )(uf 具有二阶连续导数， )cos(yefz x 满足 xx eyez y z x z 2 2 2 2 2 4)cos( 若 0000 )( ,)(ff ，求 )(uf 的表达式 【详解详解】 设 yeu x cos ，则 )cos()(yefufz x ， yeufyeuf x z euf x z xxyx cos)( cos)(,)( cos 22 2 2 ; yeufyeuf y z yeuf y z xxx cos)( sin)(,sin)( 22 2 2 ； xxx eyefeuf y z x z 22 2 2 2 2 )cos()( 由条件 xx eyez y z x z 2 2 2 2 2 4)cos( ， 可知 第 12 页 共 18 页 uufuf )()(4 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程 对应齐次方程的通解为： uu eCeCuf 2 2 2 1 )( 其中 21 CC , 为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为 uy 4 1 * 故非齐次方程通解为 ueCeCuf uu 4 1 2 2 2 1 )( 将初始条件 0000 )( ,)(ff 代入，可得 16 1 16 1 21 CC, 所以 )(uf 的表达式为 ueeuf uu 4 1 16 1 16 1 22 )( 18 （本题满分 10 分） 设曲面 )(:1 22 zyxz 的上侧，计算曲面积分： dxdyzdzdxydydzx)()()(111 33 【详解详解】 设 1 1 22 1 yx z : 取下侧，记由 1 , 所围立体为 ，则高斯公式可得 473 733 66733 11313111 1 2 1 0 2 0 22 22 2233 2 1 r dzrrdrd dxdydzyx dxdydzyxyx dxdydzyxdxdyzdzdxydydzx )( )( )( )()()()()( 在 1 1 22 1 yx z : 取下侧上， 011111 11 33 dxdydxdyzdzdxydydzx)()()()( ， 第 13 页 共 18 页 所以 dxdyzdzdxydydzx)()()(111 33 = 4111 1 33 dxdyzdzdxydydzx)()()( 19 （本题满分 10 分） 设数列 nn ba , 满足 2 0 2 0 nn ba, ， nnn baacoscos 且级数 1n n b 收敛 （3） 证明 0 n n alim ； （4） 证明级数 1n n n b a 收敛 【详解详解】 （1）证明：由 nnn baacoscos ，及 2 0 2 0 nn ba, 可得 2 0 nnn baacoscos ，所以 2 0 nn ba ， 由于级数 1n n b 收敛，所以级数 1n n a 也收敛，由收敛的必要条件可得 0 n n alim （2）证明：由于 2 0 2 0 nn ba, ， 所以 2222 nnnnnnnn ababbaba sin,sin 222 22 2 22 2 222 n n n n nn n nnnn n nnnn n nn n n b b b b ab b abba b abba b ba b a sinsin coscos 由于级数 1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数 1n n n b a 收敛 20 （本题满分 11 分） 第 14 页 共 18 页 设 3021 1110 4321 A ，E 为三阶单位矩阵 （3） 求方程组 0 AX 的一个基础解系； （4） 求满足 EAB 的所有矩阵 【详解详解】 （1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下： 3100 2010 1001 3100 1110 4321 1340 1110 4321 3021 1110 4321 A ， 得到方程组 0 AX 同解方程组 43 42 41 3 2 xx xx xx 得到 0 AX 的一个基础解系 1 3 2 1 1 （2）显然 B 矩阵是一个 34 矩阵，设 444 333 222 111 zyx zyx zyx zyx B 对矩阵 )(AE 进行进行初等行变换如下： 1413100 1312010 1621001 1413100 0101110 0014321 1011340 0101110 0014321 1003021 0101110 0014321 )(AE 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 第 15 页 共 18 页 1 3 2 1 0 1 1 2 1 4 3 2 1 c x x x x ， 1 3 2 1 0 4 3 6 2 4 3 2 1 c y y y y ， 1 3 2 1 0 1 1 1 3 4 3 2 1 c z z z z ， 即满足 EAB 的所有矩阵为 321 321 321 321 313431 212321 162 ccc ccc ccc ccc B 其中 321 ccc, 为任意常数 21 （本题满分 11 分） 证明n阶矩阵 111 111 111 与 n00 200 100 相似 【详解详解】证明：设 A 111 111 111 ， B n00 200 100 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下： 1 111 111 111 n nAE )( ， 所以 A 的n个特征值为 0 321 n n , ； 而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 0 0 A ； 1 00 20 10 n n n BE )( 第 16 页 共 18 页 所以 B 的n个特征值也为 0 321 n n , ； 对于 1 n 重特征值 0 ，由于矩阵 BBE )(0 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 1 n 重特征值 0 的特征向量应该有 1 n 个线性无关，进一步矩阵 B 存在n个线性无关的特 征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且 0 0 B 从而可知n阶矩阵 111 111 111 与 n00 200 100 相似 22 （本题满分 11 分） 设随机变量 X 的分布为 2 1 21 )()(XP