概率论第二章习题ppt课件

.,1,第二章习题,1.,一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.,解基本事件是从5只球中同时取3只,有种取法.,X只能取值3,4,5.,X=3时,一只球编号为3,另外两只球编号为1,2,只有一种取法,X=4时,一只球编号为4,另外两只球只能从编号为1,2,3的三只球中取,有种取法.,X=5时,一只球编号为5,另外两只球只能从编号为1,2,3,4的四只球中取,有种取法.,X的分布律为,也可列表表示,.,2,3.,设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样.以X表示取出次品的只数.(1)求X的分布律;(2)画出分布律的图形.,解法一:X可能取值为0,1,2.,PX=0=P(A1A2A3),=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),PX=1,PX=2,设事件Ai表示“第i次取到正品”,i=1,2,3.,也可由,PX=2,=1-PX=0-PX=1,.,3,法二:用等可能概型.,基本事件是从15只零件中取3只,有种取法.,X=0时,取出的3只都是正品,有种取法.,X=1时,取出的3只中有2只正品,1只次品,有种取法.,X=2时,取出的3只中有1只正品,2只次品,有种取法.,故PX=0=22/35,PX=1=12/35,PX=2=1/35.,X的分布律为,其图形为,.,4,4.,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为q=1-p(0p1).,(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律.(此时称X服从以p为参数的几何分布.),将试验进行到出现一次成功为止,所需的试验次数X=1,2,k,X=k时,前k-1次试验均未成功,第k次试验才成功,由于各次试验相互独立,故,=(1-p)k-1p,X的分布律为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.,解这是(1)中p=0.45的情况,故X的分布律为,PX=k=0.45(0.55)k-1,k=1,2,.,5,但这成功的r次试验,除最后一次必成功外,另外成功的r-1次可以是总的k-1次中的任意r-1次,共有,种可能,每一种可能的概率均为,qk-rpr=(1-p)k-rpr.,故Y的分布律为,(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.),解将试验进行到出现r次成功为止,所需的试验次数Y=r,r+1,Y=k时,共进行了k次试验,其中成功r次,未成功k-r次(kr).,若后r次试验成功,则前k-r次试验未成功,其概率为,=qk-rpr,X取偶数可视为所有X=2n(n=1,2,)事件的总和,其概率为,.,6,7.,设事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.,解设X表示n次重复独立试验中事件A发生的次数,由于事件A在一次试验中发生的概率p=0.3,故Xb(n,0.3).,X的分布律为,(1)n=5所求概率为,PX3=PX=3+PX=4+PX=5,=0.163,(2)n=7所求概率为,PX3=PX=3+PX=4+PX=5+PX=6+PX=7,=1-PX3=1-PX=0+PX=1+PX=2,=0.353,.,7,14.(2),求第(1)题中的随机变量的分布函数.,解由第(1)题的结果,X的分布律为,F(x)=PXx,x3,F(x)=0,3x4,F(x)=PX=3=1/10,4x5,F(x)=PX=3+PX=4=4/10=2/5,x5,F(x)=PX=3+PX=4+PX=5=1,总之,X的分布函数为,.,8,15.,在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成比例.试求X的分布函数.,解由于质点只能落在0,a中,故Xa是不可能事件,PXa=0,(1)若x0,Xx是不可能事件,F(x)=PXx=0.,(2)若0xa,事件A表示“质点落在0,a中小区间0,x内”,则P(A)=P0Xx与该小区间的长度x成比例,令P0Xx=kx,(0xa),则1=P-a=ka,故k=1/a,从而P0Xx=x/a,(0xa).,因此F(x)=PXx,=PX2,F(x)=PXx,=PX0+P0Xa+PaXx=1,F(x)的图形如右,.,9,17.,设随机变量X的分布函数为,(1)求PX2,P0X3,P2X5/2;(2)求概率密度fX(x).,解(1)PX2,=FX(2),=ln2,P0X3,=FX(3)-FX(0),=1,P2X5/2,e2.72,=FX(5/2)-FX(2),=ln(5/2)-ln2=ln(5/4),(2)fX(x)=FX/(x),x=1处,左导数,右导数,x=e处,.,10,18.,设随机变量X的概率密度为,求X的分布函数F(x),并画出(2)中的f(x)及F(x)的图形.,解(1),X1时,F(x)=0,1x2时,x2时,总之,F(x)和f(x)的图形如下:,.,11,19(2),研究了英格兰在1875年1951年期间,在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度,得知相继两次事故之间的时间T(以日计)服从指数分布,其概率密度为,求分布函数FT(t),并求概率P50T0,t0,总之,也可由指数分布=241直接得此结果.,P50Tc=PXc;(3)设d满足PXd0.9,问d至多为多少?,解(1)P22X2+PXd0.9,即,1-PXd,解得d3-2.56=0.44.,(2)由于正态分布的分布曲线即概率密度曲线以直线x=为对称轴.,因此,PX=PX.,本题中=3,故只需取c=3,就可以使PXc=PXc.,一工厂生产的某种元件的寿命X(以小时计)服从参数为=160,的正态分布.若要求P1200,此时,.,18,31.,设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,解由于y=sinx在(0,)上不是单调区间,故不能套用p64定理的结果,由于Y=sinX只能在区间(0,1上取值,故,(1)y0时,FY(y)=PYy=0(不可能事件).,