2013年陕西高考数学(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数 学（文科）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设全集为，函数的定义域为，则为（ ）.A. B. C. D. 解析 函数的定义域，则故选B.2. 已知向量，若，则实数等于（ ）.A. B. C. 或 D. 解析 由.故选C.3. 设均为不等于的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）.A. B. C. D. 分析 根据对数的运算法则及换底公式判断解析 由对数的运算公式可判断选项C,D错误，选项A，由对数的换 底公式知，此式不恒成立，选项B，由对数的换底公式知，, 故恒成立，故选B.输入；If ThenElse ()End If输出4. 根据下列算法语句，当输入为时，输出的值为（ ）.A. B. C. D. 分析 由算法语句读出其功能，进一步利用分段函数的解析式 求函数值.解析 由题意，得当时， 所以输出的值为.故选C.5. 对一批产品的长度（单位: 毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准，产品长度在区间上为一等品， 在区间和区间上为二等品， 在区间和上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取一件， 则其为二等品的概率为（ ）.A. B. C. D. 解析 由图可知抽得一等品的概率为，抽得三等品的概率为，则抽得二等品的概率为 故选D.6. 设是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.A. 若，则是实数 B. 若，则是虚数 C. 若是虚数，则 D. 若是纯虚数，则分析 利用复数的分类及运算性质判断解析 设，选项A，则，故或都为，即为实数，正确.选项B，则则故一定为虚数，正确.选项C，若为虚数，则，由于的值不确定，故无法比较大小，错误.选项D，若为纯虚数，则则，正确故选C.7. 若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值是（ ）. A. B. C. D. 解析曲线与所围成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线：向左平移时，的值在逐渐变小，当通过点时，故选A.8. 已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）. A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定分析 利用点、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式判断.解析 由题意知点在圆外，则，圆心到直线的距离，故直线与圆相交. 故选B.9. 设的内角所对的边分别为，若，则 的形状为（ ）.A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系解析 因为,所以.因为，所以， 即是直角三角形故选A.10. 设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（ ）.A. B. C. D. 分析：选取特殊值，利用排除法求解解析：选项A，取，则，显然 选项B，取，则 选项C，取，则，显然故选D.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 双曲线的离心率为 .解析：由题意知又，则， 故12. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 . 解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为的半球， 其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即.13. 观察下列等式：照此规律，第个等式可为 . 解析 从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右 边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从开始，逐项加递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以为首项，为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第个等式可为 14. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为 .解析 设矩形花园的宽为m，则，即, 矩形花园的面积，当m时，面积最大15. （考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A.（不等式选做题）设，则关于实数的不等式的解集是 .B.（几何证明选做题）如图所示，与相交于点，过作的平行线与的延长线相交于点.已知，则 .C.（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（为参数）的焦点坐标是 . A.解析 因为，则，其几何意义是数轴上表示数,的两点间距离大于，的几何意义为数轴上任意一点到，两点的距离之和，当处于，之间时取最小值，距离恰为，两点间的距离，由题意知其恒大于，故原不等式解集为.答案：.B.解析 因为，所以.又因为，所以.又，所以，则，即，故.C.解析 将参数方程化为普通方程为，表示开口向右，焦点在轴正半轴上的抛物线，由，则焦点坐标为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （本小题共12分）已知向量，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将化为一个角的一种三角函数，利用公式确定周期；利用正弦函数的性质确定最值解析 .（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.（2）因为，所以.由正弦函数的性质，得当，即时，取得最大值；当，即时，；当，即时，所以的最小值为.因此，在上的最大值是，最小值是17. （本小题共12分）设表示数列的前项和.（1）若是等差数列，推导的计算公式；（2）若，且对所有正整数，有.判断是否为等比数列，并证明你的结论.分析 利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行.解析（1）方法一：设的公差为，则.又，所以，所以方法二：设的公差为，则又,所以，所以.（2）是等比数列.证明如下：因为，所以因为，所以当时，有.因此是首项为且公比为的等比数列 18. （本小题共12分）如图所示，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求三棱柱的体积.分析 在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面；高已确定，关键在于求底面积解析 （1）证明：由题设知，所以四边形是平行四边形，所以又，所以.因为，四边形是平行四边形，所以.又，所以又，所以.（2）解：，所以是三棱柱的高又，所以.又，所以.19. （本小题共12分）有位歌手（至号）参加一场歌唱比赛，由名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为组，各组的人数如下：组别人数（1）为了调查评委对位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从组中抽取了人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.组别人数抽取人数（2）在（1）中，若两组被抽到的评委中各有人支持号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选人，求这人都支持号歌手的概率. 分析 依据组人数确定抽样比例，进而根据抽样比例确定各层人数；利用树状图列出各种情况，根据古典概型求解.解析 （1）由题设知，分层抽样的抽取比例为，所以各组抽取人数如下表：组别人数抽取人数（2）记从组抽到的位评委分别为，其中支持号歌手；从组抽到的位评委分别为，其中支持号歌手，从和中各抽取人的所有结果如图：由树状图知所有结果共种，其中人都支持号歌手的有共种，故所求概率20. （本小题共13分）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率.分析 由动点坐标，依据给出的距离关系求解；设出斜率，将直线与曲线方程联立，根据根与系数的关系，数形结合，利用横坐标的中点关系求解斜率或者利用中点关系直接求解的坐标，进而求斜率.解析 （l）如图所示，设点到直线的距离为，根据题意，由此得，化简得，所以动点的轨迹的方程为.（2）方法一：由题意，设直线的方程为，如图所示.将代入中，有，其中，由根与系数的关系，得， 又是的中点，故. 将代入，得，可得，且，解得或，所以直线的斜率为或.方法二：由题意，设直线的方程为，如图.因为是的中点，所以， . 又， ， 联立，解得或即点的坐标为或，所以直线的斜率为或21. （本小题共14分）已知函数.（1）求的反函数的图象上点处的切线方程；（2）证明：曲线与曲线有唯一公共点；（3）设，比较与的大小，并说明理由.分析 确定反函数，利用导数的几何意义求解；将两曲线的公共点个数问题转化为函数零点个数问题来解决；利用作差法比较大小解析（1）的反函数为，设所求切线的斜率为因为，所以，于是在点处的切线方程为.（2）证法一：曲线与曲线公共点的个数等于函数零点的个数因为，所以存在零点.又，令,则.当时，所以在上单调递减