2013湖南高考数学试卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面上对应的点位于（ ）.A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.解析 因为，所以复数对应复平面上的点是，该点位于第二像限. 故选B.2.“”是“”成立的（ ）.A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 利用集合间的关系转化.解析 设，所以，即当时，有，反之不一定成立.因此“”是“”成立的充分不必要条件.故选A.3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，件，件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了件，则（ ）.A. B. C. D.分析 根据分层抽样的特点，用比例法求解.解析 依题意得，故.故选D.4. 已知是奇函数，是偶函数，且，则等于（ ）.A. B. C. D.分析 根据奇、偶函数的性质，将和转化为列方程组求解.解析 是奇函数，所以.又是偶函数，所以.因为，所以. 又，所以. 由，得.故选B.5. 在锐角中，角所对的边长分别为. 若，则角等于（ ）.A. B. C. D.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.解析 在中，.因为， 所以.所以.又为锐角三角形，所以.故选A.6. 函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）.A. B. C. D.分析 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.解析 ，在同一平面直角坐标系内画出函数与的图象（如图所示）.由图可得两个函数的图象有个交点.故选C. 7. 已知正方体的棱长为，其俯视图是一个面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）.A B. C. D.分析 根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积.解析 由于该正方体的俯视图是面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.故选D.8. 已知是单位向量，.若向量满足 则的最大值为（ ）.A. B. C. D.分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.解析 因为是单位向量，所以.又，所以，所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以. 所以.所以的最大值为.故选C.9. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（ ）. A. B. C. D.分析 根据几何概型的特点寻找满足条件的点，得用直角三角形的性质求解.解析 由于满足条件的点发生的概率为，且点在边上运动，根据图形的对称性当点在靠近点的边的分点时，（当点超过点向点运动时，）.设，过点作交于点，则.在中，即，所以.故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 已知集合，则_.分析 先计算，再计算.解析 ，所以.所以.11. 在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（为参数）平行，则常数的值为_.分析 消去参数转化为平面直角坐标系下的方程求解.解析 由消去参数，得. 由消去参数，得.因为，所以，所以12. 执行如图所示的程序框图，如果输入则输出的值为 .分析 利用程序框图表示的算法逐步求解.解析 当时，不成立，执行后的值为； 当时，不成立，执行后的值为； 当时，不成立，执行后的值为； 当时，不成立，执行后的值为； 由于成立，故输出的值为.13. 若变量x，y满足约束条件则的最大值为_.分析 根据不等式组作出其平面区域，令，结合直线的特征求解.解析 如图所示，作出不等式组表示的平面区域，平行移动，易知当直线经过点时，取最大值.14. 设是双曲线的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为_.分析 作出满足题意的几何图形，利用及，求出的关系式.解析 设点在双曲线右支上.因为，且，所以.又点在双曲线右支上，所以.所以.15. 对于的子集，定义的“特征数列”为，其中. 其余项均为，例如子集的“特征数列”为 .（1） 子集的“特征数列”的前三项和等于_；（2）若的子集的“特征数列”，满足，；的子集 的“特征数列”满足，则的元素个数为_.分析 根据定义，明确“特征数列”的性质，即子集中元素的个数为“特征数列”中项的个数，并且所在的项即为“特征数列”中的第项.解析（1）子集的“特征数列”中共有个，其余均为，该数列为.故该数列前项的和为.（2）的子集的“特征数列”中，由于，因此集合中必含有元素.又当时，即，故.同理可求得故的子集的“特征数列”为，即.的子集的“特征数列”中，由于，因此集合中必含有元素.又当时，当时，当时，故.所以的子集的“特征数列”为，即. 因为，故.所以集合中有个元素，其下标为奇数的有个元素.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数.（1） 求的值；（2） 求使 成立的的取值集合.分析（1）利用三角恒等变形公式将变形为只含一个角的一种三角函数形式后求解.（2）根据余弦函 数的性质变形为关于自变量的不等式求解.解析（1）. （2） . 等价于，即. 于是.解得. 故使成立的的取值集合为.17.(本小题满分12分)如图所示，在直棱柱中，是的中点，点在棱上运动.（1）证明：；（2）当异面直线， 所成的角为时，求三棱锥的体积.分析 利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，根据直线平行找出异面直线所成的角求出三棱锥的高，利用体积公式求解.解析 （1）证明：因为，的中点，所以. 又在直线三棱柱中，而，所以. 由，得.由点在棱上运动，得，所以.（2）因为，所以是异面直线所成的角.由题意知.因为，所以.又，从而. 又，从而.于是.故.又，所以. 从而.18.（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米.（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；频数（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为的概率.分析 根据题意找出消产量对应的“相近”作物株数的频数，利用平均数公式计算；至少为的概率是指与两种概率的和，利用互斥事件的概率公式求解.解析（1）所种作物的总株数为，其中“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有析，列表如下：频数所种作物的平均年收获量为.（2）由（1）知，.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为的概率为.19.（本小题满分13分）设为数列的前项和，已知， ，.（1）求，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.分析 根据消去得到关于的关系式，求其通项；利用错位相减法求前项和.解析（1）令，得，即.因为，所以.令，得，解得.当时，由，即.于是数列是首项为.公比为的等比数列.因此，.所以的通项公式为.（2）由（1）知，.记数列的前项和为，于是， . ，得. 从而.20.（本小题满分13分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆 的一条直径的两个端点.（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，.当最大时，求直线的方程.分析 （1）根据点关于直线的对称性求出圆心坐标与半径，从而求出圆的方程.（2）根据过点的直线特征设出直线方程，分别求出直线与圆、直线与椭圆相交的弦长，利用基本不等式求弦长之积的最值.解析 （1）由题设知，的坐标分别为，圆的半径为2，圆心为原点关于直线的对称点.设圆心的坐标为，由解得所以圆的方程为.（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离.所以.由，得.设与的两个交点坐标分别为，则.于是.从而.当且仅当，即时等号成立.故当时，最大，此时直线的方 程为或，即或.21.（本小题满分13分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，. 分析 （1）求出函数的导数，解关于导数的不等式求得其单调区间.（2）根据函