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文档简介

向量空间的基、维数与坐标,第三章第三讲,定义1设是向量空间，如果个向量，且满足,那末，向量组就称为向量空间的一个基,称为向量空间的维数，记为,并称为维向量空间,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为,（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.,例如，在Rn中，是它的一组基，称为标准基，因此Rn是n维向量空间。,由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定的。并且向量空间可以由它的任一组基生成。因此，任给，有惟一的表达式，称为在基下的坐标。,由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。,其中矩阵称为由基到,即,基的过渡矩阵。,设和是Rn中两组不同的基。则它们是等价的即可以相互表示。,设,从而,例1,证,例2,解,小结,（一）、向量空间的基和维数：基：向量空间的一个极大线性无关组，不惟一。维数：极大无关组中向量的个数。求向量空间基和维数的方法：找到一个极大无关组,（二）、向量的坐标坐标：基是向量空间的一个极大线性无关组，从而任一向量可以被惟一线性表示。线性表示中的系数就称为此向量在这组基下的坐标。坐标变换：基不惟一，从而坐标随
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