矩阵分析课件.ppt

矩阵分析导论，罗家宏主编，矩阵理论程主编，教材：矩阵分析石荣昌等。矩阵理论是一种最具实用价值的数学理论。它广泛应用于现代工程技术中。算法、系统工程、优化方法、现代控制理论、自动化技术、稳定性理论等。都与矩阵理论密切相关。矩阵理论的内容也在不断更新和发展。本课程只介绍矩阵理论最经典的部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课，我希望学生复习线性代数的相关内容，尤其是向量、矩阵和二次型。第1节线性空间，第1节：线性空间的定义和例子。该定义被设置为非空集合和数字字段。集合和中定义了两个代数运算。一种是加法运算，用来表示。另一种是用于表示的数乘运算，这两种运算满足以下八个运算法则：第一章线性空间与线性映射，实数域R的复数域C，运算的结果是V中的元素，(1)加法交换法则，(2)加法组合法则，(3)零元素有一个元素在，所以对于任何元素，(4)负元素有一个元素在，所以，(5)、(6)、(7)、(8)在数域中称为这样的线性空间。整组实函数在实数域中形成一个线性空间。复域上所有矩阵的集合是一个线性空间。根据函数的加法和数乘函数，根据矩阵的加法和数乘矩阵，v中的元素称为向量。实例3在实数域中总次数小于或等于的多项式集合在实数域中形成线性空间。例4所有的正实数也在下面的加法和数乘法的定义下形成一个线性空间：例5表示实数域中所有无限序列的集合。也就是说，加法和乘法是在中定义的，它是实数字段中的一个线性空间。满足柯西条件的无限序列的子集也构成了上的线性空间。柯西条件是这样的，即满足例7中希尔伯特条件的无限序列的子集不构成一个线性空间。希尔伯特的条件是，级数收敛例8中的无穷序列的中间有界的子集也在上形成一个线性空间。一个无限序列被称为有界的。如果有实数，那么定理1:线性空间有唯一的零元素，任何元素都有唯一的负元素。定义1、线性组合和向量可以用向量集线性表示。2:线性空间的基本概念及其性质，定义2，向量集被称为线性相关，否则被称为线性无关。定理3(当时)向量组线性相关的充要条件是至少一个向量可以由其他向量线性表示。定理4:定义3，最大(线性)独立向量组，秩，基本性质：(1)包含零向量的向量组是线性相关的；(2)整个无关部分是无关的；部分相关和总体相关；(3)如果向量较多的向量组可以用向量较少的向量组线性表示，则向量较多的向量组是线性相关的；(4)向量群的秩是唯一的，但其最大线性独立群不是唯一的；(5)如果向量组(1)可以由向量组(2)线性表示，则向量组(1)的秩向量组(2)的秩；(6)等价向量组具有相同的秩。在实数域的线性空间中，函数群是一组线性独立的函数，其中之一是，在实数域的线性空间中，函数群也是线性独立的。在实数域的线性空间中，函数群和群是不同的实数。是一组线性独立的函数，其中是一组不同的实数。在实数域的线性空间中，函数群是线性相关的函数群。函数组的定义是线性相关的，并被设置为数字字段上的线性空间。如果中有2个线性独立的向量，则中的任何向量都可以用第二个线性空间的线性、基、维数和坐标变换来表示此时，我们称之为一维线性空间，记录为：1。向量的坐标是唯一的；2.向量的相关性与坐标的相关性是一致的。在示例1中，实数域上的线性空间中的向量组和向量组都是基数。这是一个三维线性空间。以验证：1。向量组是独立的。2.任何向量都可以用它们来表示。实例2实数域上线性空间中的向量组和向量组都是基。这是一个四维线性空间。和向量组都是碱基。例如，的维数是3，实数域上线性空间中的向量组。注意：从上面的例子中，我们可以看到线性空间的基础不是唯一的，但是维度是唯一确定的。利用维数的定义，线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维线性空间。例4在四维线性空间中，向量组和向量组是它的两组基。找出这两组基下向量的坐标。解：让向量在第一组基下的坐标为，就可以得到解，然后第二组基下的坐标也可以求解。设(旧的)和(新的)是维线性空间的两组基，它们之间的关系是，因此可以看出，一个向量在不同基下的坐标是不同的。根据基本变换和坐标变换，通过对上述公式进行矩阵化，可以得到以下关系：顺序矩阵，表示为p，是从旧基到新基的转移矩阵，然后可以写出上述公式，表明px=0只有零解，定理：转移矩阵是可逆的。如果两组基下的坐标分别是和，那么我们有：例1在四维线性空间中，向量组被称为上述公式作为坐标变换公式。和向量组，对于它的两组基，找到从基到基的转移矩阵，并找到这两组基下的向量的坐标。解决方案：很容易计算以下矩阵表达式。向量的第一组基下的坐标是第二组基下的坐标，可以通过使用坐标变换公式获得。例1对于任何有限维线性空间，它必须有两个普通的子空间，即由单个零向量构成的子空间。该定义在数字字段上设置为一维线性空间，并且是非空集合。如果有第三线性空间的子空间，子空间也是线性空间，线性空间本身也是。那么我们称之为子空间。在情况2中，那么线性方程的所有解都是一维线性空间的子空间，我们称之为齐次线性方程的解空间。如果示例3被设置为一维线性空间中的一组向量，则任何不是空空间子集的子空间都包含零个向量。当齐次线性方程组有无穷多个解时，其解空间的基础是其基本解系统。解空间的维数是基本解系统中包含的向量数。解空间被称为矩阵A的核或矩阵A的零空间，表示为N(A)。它形成线性空间的子空间，称为有限生成子空间，称为子空间的生成子空间。例4实数域上线性空间中由所有上三角矩阵集、所有下三角矩阵集、所有对称矩阵集和所有反对称矩阵集构成的子空间问题：这些子空间的基和维数分别是什么？N(A)是由基本解系、子空间的交与和、子空间、定理生成的空间，假设，那么，子空间的直和与补，以及多个子空间的交、和与直和也可以讨论。第4节：线性映射。1.定义和例子：假设f是一个数域，V和W是f上的向量空间。定义1是一个从V到W的映射。如果满足以下条件，则称之为从V到W的线性映射：(1)对于任何、=、(2)对于R的任何向量，R是从R到R的映射，这可以证明，是线性映射。定义，线性映射的简单性质，见P25书示例，2。线性映射的矩阵表示，称为相应基下的线性映射矩阵表示。对于的每个向量，坐标之间的关系，=A，证明唯一性：如果在给定基之后，线性变换与矩阵之间存在一一对应关系，则也可以定义两个线性变换的和与积，它们分别对应于矩阵的和与积，第五部分的范围与核，线性映射，只要它证明线性是独立的， 假设第六节：的矩阵的线性变换和线性变换的运算，a被称为线性变换的矩阵，并且稍微变得同构，可以在任何两个n维空间中建立，并且两个空间的同构是充分的同构保持所有的线性运算性质不变。 注意：范围和内核是不变的子空间。第9节：线性变换的不变子空间注：线性变换的不变子空间的和与交仍然是不变子空间。注：如果W是不变子空间，充要条件是。现在让我们假设它是一个数域上的一维线性空间，取一个基数，让我们假设这组基数下的线性变换矩阵是，这组基数下的向量坐标是。然后我们有，定义被设置为数域上线性空间的线性变换。如果在数域中可以找到该数，那么就有一个非零向量，因此称为的特征值，称为属于该特征值的特征向量。第8节：矩阵的特征值和特征向量(或线性变换)。是的，特征值是特征值，特征向量是特征向量，特征向量是特征向量，因此可以得到一个定理：因此，只要找出所有的特征值，它们都是线性变换的特征值；只要找出属于矩阵的所有特征向量，分别以它们为坐标的向量就是属于矩阵的所有特征向量。示例1被设置为数域上的三维线性空间、上的线性变换，并且以为底的矩阵是要找到的所有特征值和特征向量。解的特征多项式是，所以特征值是(双)和。对于特征值，求解齐次线性方程，得到一个基本解系：因此，所有属于的特征向量都是数值域中的数，而不是全零。对于特征值，齐次线性方程被求解，使得所属的最大线性独立特征向量组是，并且所属的最大线性独立特征向量组是所属的所有特征向量，这里是数域中的任何非零数。矩阵的相似性和相似性对角化了相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式值、相同的秩、相同的迹、相同的谱以及矩阵的特征值和特征向量的性质：(1)属于阶矩阵特征值的所有特征向量可以与零向量相加形成一个子空间，称为矩阵的特征值特征子空间，很容易看出它是特征值方程的解空间。(特征子空间是不变子空间)(2)属于不同特征值的特征向量是线性独立的。(3)如果彼此不同的特征值的几何多重性对应于线性独立的特征向量，那么所有这些特征向量仍然是线性独立的。(4)特征向量不能属于不同的特征值。(5)任何特征值的几何重数都不大于其代数重数。证明了如果是特征值，则几何重数是。相应特征子空间的基础是，扩展到v的基础，即至少的代数重数是.定义的数域上的线性空间的线性变换被称为可对角化的，如果在中有一个基，则该基下的矩阵是对角的。定理：可以实现对角化。定理：阶矩阵对角化的充要条件是我们取一个基，并在这个基下设置线性变换矩阵，然后我们可以得到下面的定理，矩阵的相似对角化(线性变换)。定理：阶矩阵对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于其几何重数。解答：第一个特征值可以对角