精选题库高一数学-课堂训练7-7北师大版

第7章 第7节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案：D解析：若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.2设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k()A2B4C4 D2答案：C解析：，(2，4，k)(1,2，2)，2，k2，k4.3如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案：D解析：如图建立坐标系，设ABAD1，AA12，cos，.故选D.4. 2012辽宁沈阳如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF是A1D，AC的公垂线CEF与BD1相交DEF与BD1异面答案：B解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，0，)，F(，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(，)，(1，1,1)，0，从而EFA1D，EFAC，EFBD1.5. 2012安徽调研在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A. B. C. D. 答案：A解析：取AC中点E，连结BE，则BEAC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(，0)，D(0,0,1)，则(，1)平面ABC平面AA1C1C，BEAC，BE平面AA1C1C.(，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，cos，设AD与平面AA1C1C所成的角为，sinsin(，).6在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.答案：B解析：以A为原点建系，设棱长为1.则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0.1)cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.二、填空题(每小题7分，共21分)7长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_答案：解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos.8四棱锥PABCD的底面为边长的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O，且PO1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为_答案：解析：如图，建立坐标系则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1,1,0)，(0,1，1)，(1，1，0)设平面PBC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则，.令x11，则z11，y11；令y21，则z21，x21，n1(1,1,1)，n2(1,1,1)，cosn1，n2.由题意可知，所成二面角余弦值为.9正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_答案：120解析：如下图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0，a0，y0，xz，令xz1，则n(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)，cosn，m.而二面角ABD1B1为钝角，故为120.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 2011陕西如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值解：(1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以，D，D所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)，(，)，(1,0,0)，与夹角的余弦值为cos，.11在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC(0) (1)求证：平面VAB平面VCD； (2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围解：(1)以射线CA，CB，CV分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D(，0)，V(0,0，atan)于是，(，atan)，(，0)，(a，a,0)从而(a，a,0)(，0)a2a200，即ABCD；同理(a，a,0)(，atan)a2a200，即ABVD.又CDVDD，AB平面VCD.又AB平面VAB，平面VAB平面VCD.(2)设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，得可取n(1,1，)，又(0，a,0)，于是sin|cosn，|sin，0，0sin1，0sin.又0，0.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，)12. 2011四川如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离解：(1)连接AB1与A1B交于点F，且F为AB1的中点，再连接DF.PB1平面BDA1，PB1平面PB1A，平面PB1A平面BDA1DF，PB1DF，D为AP的中点在PAA1中，DC1AA1，C1为A1P的中点，ACDPC1D，CDDC1.(2)以A1B1、A1C1、A1A分别为x、y、z轴建立空间坐标系ABACAA11，B1(1,0,0)，P(0,2,0)，D(0,1，)，B(1,0,1)，A(0,0,1)，C(0,1,1)，由于A1B1平面AA1D，平面AA1D的一个法向量n1(1,0,0)设平面BA1D的法向