江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试（5月）数学

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)20205参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2圆柱的体积公式：V圆柱Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高圆柱的侧面积公式：S圆柱侧cl，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长球的体积公式：V球R3，球的表面积公式：S球4R2，其中R为球的半径一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合M2，1，0，1，Nx|x2x0，则MN_2. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是_3. 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是_Read xIf x0 Then m2x1Else m23xEnd IfPrint m (第4题)4. 根据如图所示的伪代码，当输入的x为1时，最后输出m的值是_5. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则该双曲线的渐近线的方程是_6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是_7. 将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象若g(x)为奇函数，则的最小正值是_8. 已知非零向量b与a的夹角为120，且|a|2，|2ab|4，则|b|_9. 已知等比数列an的各项均为正数，且8a1，a3，6a2成等差数列，则的值是_10. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点(10，0)的圆M与圆x2y26x6y0相切于原点，则圆M的半径是_11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为R2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则的值是_12. 已知函数f(x)logax(a1)的图象与直线yk(x1)(kR)相交若其中一个交点的纵坐标为1，则ka的最小值是_13. 已知函数f(x)若关于x的不等式f(x)mxm10(mR)的解集是(x1，x2)(x3，)，x1x20，b0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 直线l：ykxm(k0，m0)与椭圆C交于P，Q两点，设直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2.已知k2k1k2.求k的值；当OPQ的面积最大时，求直线PQ的方程19. (本小题满分16分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an1SnSn2S，nN*，R.(1) 若3，a21，求a3的值；(2) 若数列an的前k项成公差不为0的等差数列，求k的最大值；(3) 若a20，是否存在R，使an为等比数列？若存在，求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由20. (本小题满分16分)对于定义在D上的函数f(x)，若存在kR，使f(x)0)，过点M(4p，0)的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点当AB垂直于x轴时，OAB的面积为2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设线段AB的垂直平分线交x轴于点T.求证：y1y2为定值；若OATB，求直线l的斜率23. 设nN*，kN，nk.(1) 化简：；(2) 已知(1x)2na0a1xa2x2a2nx2n，记F(n)(n1).求证：F(n)能被2n1整除2020届高三模拟考试试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. 1，02. 3. 4. 5. y2x6. 7. 8. 49. 1610. 511. 212. 313. (0，2)(2，3)14. (，2)15. 解： (1) 在ABC中，由余弦定理得2ab，化简得a2c2，即ac.(2分)因为sin2Csin Asin B，且2R(R为ABC外接圆半径)，所以c2ab，(4分)所以cab，所以ABC为正三角形，所以B.(6分)(2) 因为cos(2AB)3cos B0，且B(AC)，所以cos(AC)3cos(AC)0，(8分)所以cos(AC)3cos(AC)，(10分)即cos Acos Csin Asin C3cos Acos C3sin Asin C，所以2cos Acos Csin Asin C(12分)在斜三角形ABC中，因为A，C，所以cos A0，cos C0，所以tan Atan C2.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC1B1是矩形，所以BCCC1.因为平面ACC1A1平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1C1C，BC平面BCC1B1，所以BC平面ACC1A1.(4分)因为AC1平面ACC1A1，所以BCAC1.(6分)(2) 取A1C1的中点G，连结FG，CG.在A1B1C1中，点F，G分别是A1B1，A1C1的中点，所以FGB1C1，且FGB1C1.(8分)在矩形BCC1B1中，点E是BC的中点，所以ECB1C1，且ECB1C1，所以ECFG，且ECFG.(10分)所以四边形EFGC为平行四边形，所以EFGC.(12分)因为EF平面ACC1A1，GC平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1.(14分)17. 解：方案1：因为ABAC，所以EACBAD90.在RtABD中，ABDBAD90，所以EACABD，(0，)(2分)因为ADAE50，在RtADB和RtAEC中，AB，AC，(4分)所以BC50，所以f()50()50()，其中(0，)(7分)(解法1)设tsin cos ，则tsin cos sin()因为(0，)，所以t(1，(9分)因为t212sin cos ，所以sin cos ，所以y，(12分)所以当t时，f()min100100.答：景观桥总长度的最小值为(100100)米(14分)(解法2)f().(10分)因为(0，)，所以1sin cos sin cos 0.当(0，)时，cos sin 0，f()0，f()单调递减；当(，)时，cos sin 0，f()单调递增(12分)所以当时，f()取得最小值，最小值为(100100)米答：景观桥总长度的最小值为(100100)米(14分)方案2：因为ABAC，所以EACBAD90.在RtABD中，ABDBAD90，所以EACABD，所以RtCAERtABD, 所以.(2分)因为ECx，AC，AD50，所以AB.(4分)BCx，所以g(x)(x)，x0.(7分)因为x0，所以g(x)22(10分)21002100100100.(12分)当且仅当，且x，即x50时取“”所以g(x)min100100，答：景观桥总长度的最小值为(100100)米(14分)18. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c，则c2a2b2.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以cb.又两准线间的距离为，则，所以a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(3分)(2) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去y得(4k21)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)0，化简得m20，所以k.(8分)由得k，直线PQ的方程为yxm，且x1x22m，x1x22m22，m22.又m0，所以00，所以1.(10分)此时(*)式为(Sn1Sn)SnSn2S，即Sn1(Sn11)Sn(Sn21)(*)由S11，S21a21，得S31; 由S2，S31得S41，依次类推，Sn10，所以(*)等价于，所以数列为常数列，所以a2.(14分)于是n2时，两式相减得an1a2an.因为a2a2a1，所以an1a2an(nN*)又a1，a20，所以a2(非零常数)，所以存在1，使an为等比数列(16分)20. (1)解：a0时，h1(x)ln x1.因为h1(x)为“m(k)型函数”，所以h1(x)恒成立设g(x)(x1)，则g(x)0恒成立，所以g(x)在1，)上单调递减，所以g(x)g(1)1，所以k的取值范围是(1，)(3分)(2) 证明：当a时，要证h2(x)为“M(1)型函数”，即证(1x)ln xx，即证(1x)ln xx0.(证法1)令R(x)(1x)ln xx，则R(x)ln x(1x)1ln xln x.当x1时，ln x0，0，则R(x)0；当0x1时，ln x0，0，则R(x)0，所以函数F(x)在(0，)上单调递增，又F(1)0，所以当0x1时，R(x)1时，R(x)0，所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(6分)以下同证法1.(3) 证明：函数f(x)为“m()型函数”等价于p(x)(12ax)ln xx0，不合题意；当a2时，p()1(4e)0，不合题意；(10分)当a1时，(证法1)p(x)(12x)ln xx，当x1或0x时，p(x)0x0.(12分)当x1时，12x，所以p(x)x(3x2)20.综上，存在唯一整数a1，使得f(x)为“m()型函数”(16分)(证法2)p(x)(12x)ln xx，p(x)2ln x2ln x.记(x)2ln x，则(x)0，所以(x)p(x)在(0，)上单调递减易得ln xx1，所以p()2ln 2(1)3120，所以存在唯一零点x0(，)，使得p(x0)2ln x00，且x0为p(x)的最大值点，(12分)所以p(x0)(12x0)ln x0x0x02x0.注意到y2x在(，)上单调递增，所以p(x0)p()(3)0，所以p(x)0，所以p，所以抛物线的方程为y2x.(3分)(2) 证明：由题意可知直线l与x轴不垂直由(1)知M(2，0)，设A(y，y1)，B(y，y2)，则kAB.由A，M，B三点共线，得.因为y1y2，化简得y1y22.(5分)解：因