第四章-偏微分方程的有限差分法

HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang1/75,第四章偏微分方程的有限差分法,4.1有限差分法原理4.2热传导方程的差分解法4.3波动方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang2/75,4.1有限差分法原理,物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分为以下三类：,上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang3/75,4.1有限差分法原理,有限差分解法,差分近似代替微分，差商近似代替微商,这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可以求解离散节点上的函数值。,数学基础泰勒（Taylor）展开,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang4/75,4.1有限差分法原理,差商公式的构造,利用泰勒级数展开定义差商,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang5/75,4.1有限差分法原理,误差为O(h)差商公式：,一阶向前差商：,一阶向后差商：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang6/75,4.1有限差分法原理,二阶向前差商：式(2)-式(1)X2,误差为O(h2)差商公式：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang7/75,4.1有限差分法原理,二阶向后差商:式(2)-式(1)X2,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang8/75,4.1有限差分法原理,一阶向前差商：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang9/75,4.1有限差分法原理,一阶向后差商：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang10/75,4.1有限差分法原理,一阶中心差商：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang11/75,4.1有限差分法原理,二阶中心差商：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang12/75,4.1有限差分法原理,差分格式的收敛性和稳定性,收敛性：,稳定性：,当步长h0时，差分方程的解趋向于微分方程的解。,误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang13/75,4.1有限差分法原理,从数学上讲，没有限制的微分方程会有无穷多个解，不能构成一个定解问题。,从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物理过程的具体特征。,因此，要想解决实际的物理问题，必须知道一个连续体或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang14/75,4.1有限差分法原理,初始条件：与时间相联系,边界条件：边界受到外界的影响,偏微分方程的定解条件,常见的物理问题可以归结为三大类边界条件,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang15/75,4.1有限差分法原理,2第二类边界条件（诺依曼Neumann）,1第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）,热传导问题：边界上温度分布已知,热传导问题：通过边界单位面积上的热流量已知,n表示的外法线q0定义在上的已知函数,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang16/75,4.1有限差分法原理,由热力学傅立叶定律得：,热流量：,单位面积上的热流量：,K:热传导系数,单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang17/75,4.1有限差分法原理,3第三类边界条件（洛平Robin）,热传导问题：边界表面与外界之间的热量交换已知,a0,b0.c0定义在上的已知函数,外界温度为u0，热交换规律遵循热传导实验定律：,单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量正比于边界表面和外界的温度差。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang18/75,4.1有限差分法原理,对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，甚至不能用这三类边界条件描述。,：热交换系数u：边界温度,单位面积上的热流量：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang19/75,4.2热传导方程的差分解法,物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统称为热传导方程。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang20/75,4.2热传导方程的差分解法,一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：,为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初始条件。,定解条件：边界条件和初始条件。,定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。,4.2.1一维热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang21/75,4.2热传导方程的差分解法,对于一维热传导问题（第一类边界条件）,数值解就是在求解区域,中某些离散点（xi,ti）上求出u(xi,ti)足够近似的解。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang22/75,4.2热传导方程的差分解法,1把求解区域离散化（确定离散点）,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang23/75,4.2热传导方程的差分解法,2推导差分递推公式,在节点（xi,tk）上,二阶向前差商O(h2),HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang24/75,4.2热传导方程的差分解法,同样，在节点（xi,tk）上,一阶向前差商O(h),HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang25/75,4.2热传导方程的差分解法,一维热传导方程可以近似为,令,O(h),HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang26/75,4.2热传导方程的差分解法,初始条件,边界条件,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang27/75,4.2热传导方程的差分解法,一维热传导方程显示差分递推公式为,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang28/75,4.2热传导方程的差分解法,显示差分递推公式的稳定性：,对于一维热传导方程，差分格式为稳定差分格式的充分条件是,即,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang29/75,4.2热传导方程的差分解法,为了提高数值解的精度，必须减小,相应就要变小，这必然增加计算量。这就是显示差分格式的缺点，但它的优点是计算简单。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang30/75,4.2热传导方程的差分解法,差分格式计算步骤：给定计算计算初始值：计算边界值：用差分格式计算,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang31/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang32/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang33/75,4.2热传导方程的差分解法,X=diag(v,k)若v为n个元素向量，返回一个阶数为n+abs(k)的方阵X，将v作为X的第k个对角元，k=0代表主对角元，k0表示在主对角元之上，k0表示在主对角元以下。,v=ones(1,5);X1=diag(v)X2=diag(v,1)X3=diag(v,-1),HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang34/75,4.2热传导方程的差分解法,（1-2*）*diag(ones(1,N-1)+*（diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1)）,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang35/75,4.2热传导方程的差分解法,例4.2.1求热传导方程混合问题,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang36/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang37/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang38/75,9.24.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang39/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang40/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang41/75,4.2热传导方程的差分解法,二维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：,初始条件：,边界条件：？,4.2.2二维热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang42/75,4.2热传导方程的差分解法,同一维类似，把求解区域离散化,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang43/75,4.2热传导方程的差分解法,在节点（xi,yj,tk）上,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang44/75,4.2热传导方程的差分解法,在节点（xi,yj,tk）上,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang45/75,4.2热传导方程的差分解法,二维热传导方程可以近似为,令,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang46/75,4.2热传导方程的差分解法,差分递推公式为,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang47/75,4.2热传导方程的差分解法,边界条件：,一、右图中阴影部分为绝热壁，此绝热壁可以用第二类边界条件描述，即热流量为零。,第二类边界条件：通过边界表面单位面积上的热流量已知,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang48/75,4.2热传导方程的差分解法,差分近似为,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang49/75,4.2热传导方程的差分解法,递推公式为：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang50/75,4.2热传导方程的差分解法,二、i=0边界，M1jM2区域为与高温恒温热源相连接的口，温度可取归一化值1。j=0和j=M边界与低温恒温热源相连，温度始终为0。,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang51/75,4.2热传导方程的差分解法,二维热传导方程显示差分递推公式为,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang52/75,4.2热传导方程的差分解法,稳定差分格式的充分条件是,即,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang53/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang54/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang55/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang56/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang57/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang58/75,4.2热传导方程的差分解法,view(az,el)az:方位角el:仰角view(0,90)view(-37.5,30）,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang59/75,4.2热传导方程的差分解法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang60/75,4.3波动方程的差分解法,一维均匀弦线的自由振动方程：,波动方程的差分解法也利用构造网格节点的方法,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang61/75,4.3波动方程的差分解法,用二阶中心差分近似方法得：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang62/75,4.3波动方程的差分解法,代入波动方程得：,令：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang63/75,4.3波动方程的差分解法,边界条件,初始条件,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang64/75,4.3波动方程的差分解法,a初始条件：,对于初始时刻速度，也须用差分格式给出：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang65/75,4.3波动方程的差分解法,a1向前差分：,误差：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang66/75,4.3波动方程的差分解法,a2中心差分：,由,得（k=0）,+,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang67/75,4.3波动方程的差分解法,误差：,整理得：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang68/75,4.3波动方程的差分解法,b边界条件：,一维波动方程的差分格式有如下两种,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang69/75,4.3波动方程的差分解法,第一种：,误差：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang70/75,4.3波动方程的差分解法,第二种：,误差：,HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang71/75,