江苏省南京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

江苏省南京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）.a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】表示a中不包含b的集合，容易选出答案。【详解】表示a中不包含b集合，即.故选：c【点睛】此题考查集合的补集，熟知补集概念容易做出题目，属于简单题目.2.若，则（ ）.a. b. c. 或d. 或【答案】b【解析】【分析】根据集合中元素的确定性得出1肯定是或者的一个，又由互异性可知1只能为，较易解出答案.【详解】根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能，且；所以。故选：b【点睛】此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.3.函数的定义域为（ ）.a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式即可求出定义域的取值范围.【详解】由题意可得：，即故选：c【点睛】此题考查具体函数求定义域，根据根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式求交集较易求的定义域，属于简单题目.4.下列各组的函数，与是同一个函数的是（ ）.a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】同一函数指定义域和对应法则都相同，根据这一标准即可进行判断.【详解】a选项：和的定义域都是r，且即和的对应法则也一样，所以是同一函数，所以a正确.b选项：的定义域是r，而的定义域是，所以b不正确.c选项：的定义域是r，而的定义域是，所以c不正确.d选项：的定义域是r，而的定义域是，所以d不正确.故选：a【点睛】此题考查同一函数概念，只有定义域和对应法则都相同时才是同一函数，属于简单题目.5.已知函数，则下列图像错误的是（ ）.a. 的图像b. 的图像c. 的图像d. 的图像【答案】b【解析】【分析】先画出的图像，再分析每个选项的函数对应是怎样变化了即可较易选出答案。【详解】先分段画出的图像，易得d选项是正确的。a选项：的图像由向右平移一个单位，可知a选项正确。b选项：的图像由将，图像关于y轴对称翻折到得到的图像，可知b选项不正确。c选项：的图像由对称区间图像交换位置得到，可知c选项正确。故选：b【点睛】此题考查函数图像的变化问题，关键点弄清楚常见的左右平移变化，关于对称变化，关于轴对称变化等的特点，属于较易题目。6.已知，那么的取值范围是（ ）.a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】，即，再由对数函数单调性即可解出的范围。【详解】，即。由是增函数，可解出：.故选：b【点睛】此题考查对数函数解不等式，关键点是转化为根据对数函数单调性求解，属于简单题目。7.若集合有且仅有1个元素，则实数的值是（ ）a. 2或-1b. -2或-1c. 2或-1d. -2【答案】a【解析】试题分析：当，解得，得，符合题意，当时，解得或，故答案为a.考点：集合中元素的个数.8.若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）.a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先讨论二次项系数是否为零判断是一次函数还是二次函数，一次函数根据斜率为正是增函数，二次函数要在上为增函数开口只能向下且对称轴在零的右侧。【详解】当时，即时，显然在上为增函数，所以 满足条件。当时，即时，为一元二次函数。要在上为增函数，此时只能开口向下，且对称轴大于等于0，即时，对称轴，即综上所述：故选：b【点睛】此题考查二次项系数含参单调性问题，特别注意如果二次项系数为零则为一次函数容易遗漏，属于较易题目。9.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】分情况讨论：当任意时，恒成立，即恒成立，即 ，即恒成立，只需当任意时，即可，通过和对称轴进行讨论即可。【详解】当任意时，恒成立，即恒成立，即 ，即恒成立，只需当任意时，即可。当时，即时，当任意时，恒成立显然成立，所以时满足条件；当时，即或者时，要使当任意时，恒成立，对称轴，即，且，即，。所以时满足条件。综上所述：故选：d【点睛】此题考查二次函数通过和对称轴范围求最小值解恒成立问题，关键点注意分类讨论的依据，属于较易题目。10.若函数在r上单调递增，则实数的取值范围是（ ）.a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】分段函数在r上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可。【详解】因函数在r上单调递增，所以；对称轴，即；临界点处，即或；综上所述：故选：b【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目。二、多选题：本大题共3小题，每小题3分，共计9分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得3分，其他情况不得分.11.若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.a. b. c. d. 【答案】ab【解析】【分析】分别讨论单增和单减两种不同情况即可较易求解.【详解】当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值。所以，求得或者（舍）；当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，所以所以，求得（舍）或者.综上所述：或者.故选：ab【点睛】此题考查指数函数的通过单调性求最值问题，分别讨论分别讨论单增和单减两种不同的情况，属于较易题目。12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）. a. 在前三小时内，每小时的产量逐步增加b. 在前三小时内，每小时的产量逐步减少c. 最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同d. 最后两小时内，该车间没有生产该产品【答案】bd【解析】【分析】根据车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，分别进行判断即可。【详解】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故a错，b正确；后2小时均没有生产，故c错，d正确。故选：bd【点睛】此题考查函数图像的实际应用，关键点是将函数图像和实际问题联系起来，属于较易问题。13.下列四个说法中，错误的选项有（ ）.a. 若函数在上是单调增函数，在上也是单调增函数，则函数在r上是单调增函数b. 已知函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有无数个c. 把函数的图像向右平移个单位长度，就得到了函数的图像d. 若函数为奇函数，则一定有【答案】acd【解析】【分析】逐个分析每个选项较易选出答案。【详解】a选项：分段函数单调条件两个：每个区间单调和临界点处左右单调。所以a不正确。b选项：函数的解析式为，它的值域为，满足此条件的定义域有无穷个，比如当定义域是时满足条件，所以函数有无数个。b正确；c选项：函数图像左右平移是针对进行平移，所以函数的图像向右平移个单位长度，得到的是函数的图像，c不正确；d选项：奇函数必须在零处有定义才有，d不正确。故选：acd【点睛】此题考查函数的一些性质，特别注意分段函数单调性的条件，相同函数的概念，左右平移变化是针对进行平移，奇函数在零处等于零的前提条件是在零处首先要有定义，属于较易题目。三、填空题：本大题共4小题5个空，共计15分，每空填对得3分，其他情况不得分.14.若，则_【答案】1【解析】【分析】先算等于多少，再代入到相应的分段函数表达式中即可.【详解】因为，所以故答案为：1【点睛】此题考查分段函数求值，关键点值在那个区间就代那个区间表达式，属于简单题目.15.已知函数是定义在r上的偶函数，当时，.则当时，函数_【答案】【解析】【分析】设，则，那么可以代入小于零时的表达式，再根据偶函数性质即可求出当当时函数表达式。【详解】设，则，那么。又，所以故答案为：【点睛】此题考查奇偶函数在对称区间函数解析式求法，熟记解题步骤能很轻易求解，属于简单题目。16.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是_年.（参考数据：）【答案】2049【解析】【分析】先根据实际问题列出函数表达式，令函数值等于1000时求解自变量即可。【详解】根据题意设每年的研发费用为，年份为，则。即，所以当，两边同时取对数 即 故答案为：2049【点睛】此题是指数函数的实际应用问题，关键点在于能读懂题意将实际问题转化为函数表达式，属于较易题目。17.已知关于的方程有两个不等的实数根和，且.实数的取值范围是_；的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】关于的方程有两个不等的实数根，转化为有两个根，即和有两个不同的交点，画出图像即可解决。根据图像进行分析【详解】关于的方程有两个不等的实数根，即有两个根，即和有两个不同的交点，画出图像由图可知要使和有两个不同的交点，；的取值范围，由图可知当趋近2时，趋近，趋近一个负数，所以此时趋近。当趋近与0时，此时，解出，即此时，趋近于，所以趋近于。所以故答案为：，【点睛】此题考查根据函数图像解方程问题，将方程的根转化为函数图像交点，属于较难题目。四、解答题：本大题共6小题，共计56分.18.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】(1) ；(2)3【解析】【分析】分别进行计算即可。【详解】（1）（2）因为，所以【点睛】此题考查指对数函数的计算问题，关键记住对指数运算法则，对数函数中的换底公式的使用，属于较易题目。19.解关于的不等式.【答案】若，解集为；若，解集为；若，解集为【解析】【分析】找到不等式两个根和，通过讨论和1的大小解不等式即可。【详解】不等式两个根为和。当时，；当时，；当时，；综上所述：若，解集为；若，解集为；若，解集为【点睛】此题考查二次函数解不等式，关键点比较两个根的大小就能较易写出解集，属于简单题目。20.已知集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】分别解出a和b，c的解集，即求出a，b相同部分即可，表示c的范围小于等于a。【详解】（1），即，即，所以（2）表示c的范围小于等于a。所以即【点睛】此题考查集合的交集和并集，熟知交集和并集的概念较易解题，属于简单题目。21.暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.（1）写出旅行团每人需交费用（单位：元）与旅行团人数之间的函数关系式；（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1） （2）45人，最大收入为20250元【解析】【分析】（1）利用已知条件，通过分段函数列出每人需要交费关于旅行社人数的函数关系式。（2）利用分段函数列出收入关系式，然后求解函数的最值。【详解】（1）由题意可知每人需交费关于旅行社团人数的函数：（2）旅行社收入为，则即当时，为增函数，所以当时，为开口向下的二次函数，对称轴，所以在对称轴处取得最大值，。综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元。【点睛】此题考查函数的实际应用问题，关键点在于把实际问题的函数模型化，属于较易题目。22.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性；（3）求不等式的解集.【答案】（1）-2；（2）在r上单增（3）（0，1）【解析】【分析】（1）在处有定义，且为奇函数，所以有，即可求出m值。（2）可以根据改变函数单调性两个因素求解。（3）根据（2）单调性为单调递增，将不等式转化为，通过单调性即可求解。【详解】（1）因为定义域为r，在在处有定义，且为奇函数，所以有。即，所以。（2），因为为增函数，为减函数，为增函数，所以为增函数。（3），即又为增函数，所以，即所以。【点睛】此题考查奇函数性质，改变函数单调性两个因素，利用单调性解不等式等基本知识点，属于较易题目。23.已知函数（1）当时，求函数的值域；（2）若函数的最大值是，求的值；（3）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）时写出函数表达式，根据真数范围求解函数值域即可。（2）设换元真数部分为关于的一元二次函数，又有最大值，所以开口只能向下，即，在对称轴处取得最大值，即可求出的范围。（3）较易判断为增函数，函数的定义域为时，的值域为可理解为函数与有两个交点正数交点，另外将进行换元即可转化成关于的一